Ecuación funcional $f(f(x+y))=f(x)+f(y)$

Question

Encuentra todas las funciones continuas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que para cualquier real $x$ y $y$, $f(f(x+y))=f(x)+f(y)$.

Mi solución es, deja $g(x)=f(x)-f(0)$ y $f(0)=a$. Entonces $$g(g(x+y)+a)=g(x)+g(y)+a\tag{*}$$ y $g(0)=0$. Si tomamos $y=0$, $g(g(x)+a)=g(x)+a$. También significa $$g(g(x+y)+a)=g(x+y)+a.\tag{**}$$ Entonces $(*)$ se convierte en $$g(x)+g(y)+a=g(g(x+y)+a)=g(x+y)+a$$ Lo que implica que $g(x)+g(y)=g(x+y)$ es la Ecuación Funcional de Cauchy en $\mathbb{R}$ ($f$ es continua) y de $(**)$, $g(x)=x$ . Por lo tanto $\boxed{f(x)=x+a\quad\forall x, a\in\mathbb{R}}$. ¿Es correcta mi solución?

Answer 1

Tu respuesta es en su mayoría correcta.

Has ignorado el caso donde $f(x)=0$ Para todo $x.$

Sabemos por Cauchy que $g(x)=bx$ para algún real $b.$ Entonces tu igualdad $g(g(x)+a)=g(x)+a$ nos da:

$$b^2x+ba=bx+a,$$ para todo $x.$ Así que $b^2=b$ y $ba=a.$ Si $b=0$ entonces $a=0.$ De lo contrario, $b=1.$

También deberías verificar que $f(x)=x+a$ funcione. Ese es un paso fácil.