¿Para qué valores de $\alpha$ converge la integral absoluta y para cuáles converge condicionalmente?

Question

¿Para qué valores de $\alpha$ converge la integral de forma absoluta y para qué valores converge de forma condicional?

$$\int_{0}^{1}\frac{\ln^{\alpha} (1+x^4)}{x^4}\cos{1 \over x}dx$$

No estoy seguro de qué criterio usar para demostrar la convergencia con un $\alpha$ específico, ¿tal vez Abel's?

Answer 1

Pista. Tenemos, cuando $x \to 0$, $$ \ln(1+x^4)=x^4+\mathcal{O}(x^5) $$ lo que resulta en $$ \frac{\ln^{\alpha}(1+x^4)}{x^4}=\frac1{x^{4-4\alpha}}+\mathcal{O}\left(\frac1{x^{3-4\alpha}}\right) $$ y $$ \frac{\ln^{\alpha}(1+x^4)}{x^4}\cos \frac1x=\frac1{x^{4-4\alpha}}\cos \frac1x+\mathcal{O}\left(\frac1{x^{3-4\alpha}}\right). \tag1 $$ Así que $$ \int_{0}^1\frac{\ln^{\alpha}(1+x^4)}{x^4}\cos \frac1xdx \quad \text{es absolutamente convergente si} \quad 4-4\alpha<1 \quad \text{es decir} \quad \alpha > \frac34. $$ La condición anterior es necesaria.

Para la convergencia condicional, se puede utilizar $(1)$ y observar que, mediante un cambio de variable y por integración por partes, obtenemos para $b>0$, $$ \begin{align} \int_{0}^b\frac1{x^{4-4\alpha}}\cos \frac1xdx&=\int_{1/b}^{\infty}\frac1{u^{4\alpha-2}}\cos u \:du\\\\ &=\left. \frac1{u^{4\alpha-2}}\sin u \right|_{1/b}^{\infty}+2(2\alpha-1)\int_{1/b}^{\infty}\frac1{u^{4\alpha-1}}\sin u \: du. \end{align} $$ y la primera parte converge para $ 4\alpha-2 >0$ y la integral converge en este caso por el criterio de Dirichlet. Entonces su integral inicial es condicionalmente convergente para $\dfrac12< \alpha \leq \dfrac34 $. La condición anterior es necesaria.