Resolviendo sistemas simples de congruencias

Question

Tengo este ejemplo de Wikipedia:

$$x \equiv 3 \pmod 4$$ $$x \equiv 4 \pmod 5$$

$$x = 4a + 3\\ 4a + 3 \equiv 4 \pmod 5\\ 4a \equiv 1 \equiv -4 \pmod 5\\ a \equiv -1 \pmod 5\\ x = 4(5b - 1) + 3 = 20b - 1 $$

Pero Wikipedia muestra $20b + 19... ¿Qué hice mal aquí?

Answer 1

Su respuesta es equivalente, ya que $\ 19 \equiv -1\pmod{20}.\ $ Explícitamente $\ 20b\!+\!19 = 20(b\!+\!1)\!-\!1.\,$

Más simple: $\, x \equiv -1\, $ mod $\,4,5\ \Rightarrow\ x\equiv -1\,$ mod $\,{\rm mcm}(4,5) = 20,\ $ es decir, $\ 4,5\mid x\!-\!1\,\Rightarrow\, 4\cdot 5\mid x\!-\!1.$

Answer 2

Generalización:

$a \equiv b(\mod n)$ si $b

La razón es bastante simple, $a \equiv b-n (\mod n) \implies a+n \equiv b(\mod n)