Dadas dos matrices complejas $2 x 2$ $A$ y $B$ (no necesariamente diagonalizables) tales que satisfacen $$A^\dagger A+B^\dagger B=I.$$ ¿Es posible restringir los valores propios de las matrices $A$ y $B$ usando la igualdad anterior? ¿Alguien puede darme algunos consejos sobre cómo hacerlo? Gracias
Respuesta
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No se puede decir mucho sobre los autovalores directamente, pero ciertamente se puede obtener un límite superior. En particular: notamos que para cualquier vector $ x $, tenemos $$ \|x\|^2 = x^\dagger(A^\dagger A + B^\dagger B)x = x^\dagger A^\dagger A x + x^\dagger B^\dagger Bx = \|Ax\|^2 + \|Bx\|^2 $$ Entonces, podemos concluir que para todos los vectores $ x $, tenemos $\|Ax\| \leq \|x\|$ y $\|Bx\| \leq \|x\|$. Por lo tanto, cualquier autovalor $ \lambda $ de $ A $ o $ B $ debe satisfacer $|\lambda| \leq 1$.
Otra propiedad notable es que $ \|Ax\| = \|x\| \iff \|Bx\| = 0 $ (y de manera simétrica $ \|Bx\| = \|x\| \iff \|Ax\| = 0 $).
Sobre $ A^\dagger B $: utilizando la norma espectral, tenemos $$ \|A^\dagger B\| \leq \|A^\dagger\| \cdot \|B\| \leq 1 $$ lo que significa que el valor absoluto de los autovalores de $ A^\dagger B $ es a lo sumo $ 1 $.
