He estado mí mismo la enseñanza de las matemáticas (principalmente de cálculo) a lo largo de este y el año pasado, y fue confundido con el uso de los determinantes. En los libros de texto de matemáticas que tengo, simplemente mostrar cómo calcular un determinante y algunas propiedades sobre ellos (es decir, la Regla de Cramer), pero no por qué se utilizan y cómo funcionan.
Así que mi pregunta es, cómo funcionan y por qué/cuándo iba yo a saber utilizar para ayudar a resolver algo?
El determinante es un valor asociado a una matriz cuadrada.
Caramba, que dice mucho, ¿no? Vamos a tratar de hacerlo más intuitivo "por qué existe" y "cómo funciona".
La primera cosa que usted necesita saber es que no necesita existir. Ni tampoco de las matrices. Ni hace nada. Pero es un concepto útil que nos ayuda a resolver los problemas que reoccured un montón de veces y que se ha considerado prudente darle un nombre. Como era prudente para construir el concepto de matrices para ayudar con los sistemas de ecuaciones lineales. A ver, todo lo que los matemáticos hacen es resolver los problemas de manera eficiente y con estilo. Sí, nos encanta el estilo. Y a través de nuestra investigación, algunos de los valores y de los cálculos demuestran ser consistente y muy útil. Y muy significativo en el contexto de sabios. Y les daremos los nombres y hacerlos nuestros amigos. O herramientas.
En los primeros días, antes de que los matemáticos descubrieron la elegancia de matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales, determinantes fueron vinculados a los sistemas de ecuaciones lineales a sí mismos. Su nombre es en realidad un regalo - que, literalmente, se determina si el sistema tiene una única solución (ni más restringido, ni bajo-restringido). Y las matemáticas mostraron que este valor tiene que ser de todo, pero $0$ a verdad. Para tener una solución única. Después de estos primeros pasos de bebé, muchos matemáticos añadido a la fundación original de la teoría y el concepto de determinante floreció como las personas resuelven más problemas. Voy a tratar de no asustar a los detalles, usted puede investigar por su propia cuenta.
Un factor determinante es utilizado en muchos contexto específico de las formas. Como uno de los comentarios dice, por Joe Johnson, que se muestran en el cálculo multivariable. En el contexto de su primera utilización, eran un indicador de si un sistema de ecuaciones lineales tiene una única solución. La condición? El valor que se le da el nombre de "determinante" tiene que ser distinto de cero. Como las matrices fueron más útiles a lo largo del tiempo y tengo muchas nuevas mejoras, hablando en sentido figurado - por ejemplo - podemos representar transformaciones lineales ( un conjunto de ecuaciones lineales que responder a una serie de reglas y transforma los vectores de un sistema de coordenadas a otro, por ejemplo). Ahora, la bonita parte de las matrices en el contexto geométrico es que si se multiplica un punto que se ha transformado con una matriz de $A$, puede deshacer que con una operación con su inverso $A^{-1}$. Pero hay casos cuando la matriz no tiene simplemente un amigo de la matriz que cuando se multiplican juntos los rendimientos de los n x n matriz de identidad - el equivalente de número de $1$.
Matemáticos descubrió que el viejo concepto de un determinante puede ser utilizado como un indicador de si una matriz tiene inversa. Si es 0, no inverso - lo siento.
Esta es una simplificación de conseguir sus pies mojados. Acabo de entender cuál es la principal idea detrás de cada concepto en matemáticas. No nos saque de nuestros detrás, llaman a nuestras puertas cuando trabajamos en problemas. Un tonto les muestra el camino, haciendo caso omiso de ellos, un hombre sabio acepta su oferta. Para ser un poco poético.
Espero que esto responda tu pregunta, que era un poco... Bueno... Ambiguo. Si quieres más, clarificar y la comunidad va a saltar a ayudar. Cuando se la deja muy grueso, un libro puede ser escrito. Y las matemáticas.Se es acerca de problemas específicos que pueden ser abordados. Si una prueba, la comprensión intuitiva o simplemente una respuesta rápida.
Felicito a su persecución de una firme comprensión intuitiva. A veces, es difícil, pero no te rindas.
Los determinantes pueden ser usados para ver si un sistema de $n$ ecuaciones lineales en $n$ variables tiene una solución única. Esto es útil para los problemas de la tarea y el como, cuando los pertinentes cálculos pueden llevarse a cabo exactamente.
Sin embargo, a la hora de resolver los verdaderos problemas numéricos, el factor determinante es raramente usado, ya que es un muy buen indicador de lo bien que se puede resolver un sistema de ecuaciones, y, además, normalmente es muy caro para calcular directamente. Otras cantidades (tales como valores singulares) proporcionar mejores indicaciones de 'solvencia', y otras técnicas de eliminación Gaussiana, QR descomposición, etc.) son mejores para la resolución de sistemas de ecuaciones.
El determinante también da la (firmado) el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son las filas (o columnas) de una matriz. Me parece que esta interpretación más intuitiva, y muchos de los resultados de los factores determinantes pueden ser entendidos usando este punto de vista. (Sin embargo, rara vez he tenido una necesidad práctica para calcular los volúmenes usando determinantes.) El volumen de la interpretación es a menudo útil al calcular integrales multidimensionales ("cambio de variables). También es útil para la comprensión (o definir) la 'cruz de producto' en la física o la mecánica.
El determinante es una muy útil herramienta teórica, cuyas aplicaciones se extienden más allá de las matrices de números reales o complejos. Sin embargo esto puede no ser aparente en el cálculo de nivel.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
