¿Es cada anillo local un anillo de valoración?

Question

¿Es todo anillo local un anillo de valoración?

Sé que la respuesta es no y el primer ejemplo que viene a mi mente es el siguiente (comencé con los campos más pequeños, como $\mathbb{Z}_2$ y $\mathbb{Z}_3$ no son interesantes, así que llegué al siguiente posible, es decir, el campo con 4 elementos).

Sea $F=\dfrac{\mathbb{Z}_2[T]}{\langle T^2+T+1\rangle}$ y $\alpha=\bar{T}\in F$, entonces $F=\{0,1,\alpha,\alpha+1\}$. El conjunto $\{0,1\}$ forma un subanillo de $F$ que es isomorfo a $\mathbb{Z}_2$ por lo tanto es un campo y un anillo local pero no contiene a $\alpha$ ni a $\alpha+1 mientras que$\alpha^{-1}=\alpha+1$.

De hecho, los cuerpos finitos no tienen un anillo de valoración no trivial porque sus grupos multiplicativos son cíclicos. Entonces todo subanillo de un campo finito que sea local es un ejemplo adecuado.

Me gustaría conocer otros tipos de ejemplos, así que si alguien ya conoce otros ejemplos diferentes al mío, estaré encantado de que los comparta aquí conmigo.

Dado la respuesta de "usuario26857" tenemos el segundo tipo de ejemplos. Sea $A$ un dominio y $F=frac(A)$, su cuerpo de fracciones. Para cada ideal primo de $A$ que no pueda ser generado por menos de 2 elementos digamos $\mathfrak{p}$ podemos hacer un ejemplo. Sea $B$ un generador para $\mathfrak{p}$ y $x,y\in B$ dos elementos cuyo máximo común divisor no está en $\mathfrak{p}$ (de lo contrario podemos reemplazarlos con su m.c.d.). Supongamos que $d=\text{m.c.d.}(x,y)$ entonces $\exists x_1,y_1\in A\;:\;x=dx_1,y=dy_1$ y $x_1,y_1$ son primos entre sí. Dado que $\mathfrak{p}$ es primo y $d\notin\mathfrak{p}$ tenemos que $x_1,y_1\in\mathfrak{p}$. Ahora ninguno de $\dfrac{x_1}{y_1}$ y $\dfrac{y_1}{x_1}$ están en $A_\mathfrak{p}$ por lo que no es un anillo de valoración de $F$ aunque es local. Gracias a "usuario26857".

Answer 1

$\mathbb C[X,Y]_{(X,Y)}$ es un anillo local que no es un anillo de valoración. (En un anillo de valoración, los ideales están ordenados linealmente; en nuestro ejemplo, los ideales $(X)$ y $(Y)$ no están contenidos uno en otro.)

Por cierto, los campos son anillos de valoración.

Answer 2

Los anillos de valoración son dominios íntegros (por definición). No todos los anillos locales son dominios íntegros (por ejemplo $\mathbb{Z}/p^2$).