Consolidando y revisando mis comentarios en una respuesta parcial...
En concordancia con el artículo de Petter Brändén "Unimodality, Log-Concavity, Real-Rootedness and Beyond" (enlace PDF a través de arxiv.org), sugerido en un comentario por @Nolord, adoptaré el término "real-rooted" para un polinomio, cada una de cuyas raíces es real.
Además, ajustando la postura en algunas afirmaciones en mis comentarios, también adoptaré la convención de que un polinomio constante (distinto de cero) es real-rooted. (Después de todo, cuando un polinomio no tiene raíces en absoluto, es vacuamente verdadero que cualquier raíz que tenga sea real.) Esto evitará que tenga que esparcir calificadores "no constantes" a lo largo de la discusión.
Preliminares aparte...
Según la pregunta, estamos comenzando con un polinomio real-rooted $$f(x)=\sum_{k=0}^na_k x^k \qquad a_k> 0 \tag1$$ y se nos pide contar los subpolinomios real-rooted (RRSPs) cuyos términos se eligen de entre los de $f(x)$.
(Esta respuesta parcial solo encuentra un límite superior, mostrado en $(3)$, en el conteo; además, si se cumple la Conjetura establecida, entonces podemos decir que el límite superior siempre se puede alcanzar.)
Nótese que un polinomio con coeficientes no negativos no tiene raíces positivas. Por lo tanto, las raíces de cualquier subpolinomio real-rooted $g(x)$ deben ser negativas o cero; por lo tanto, dicho polinomio tiene la forma $a x^p \prod_{k=0}^{q-1}(x+r_k)$, para $r_k$ estrictamente positivas (los negativos de las raíces negativas). Expandiendo el producto, no hay posibilidad de cancelación, por lo que $g(x)$ tiene un término para cada potencia de $x$ desde $p$ hasta $p+q$, sin omisiones; por lo tanto, como un subpolinomio de $f(x)$, cualquier $g(x)$ real-rooted tiene la forma $$\sum_{k=p}^{p+q}a_k x^k \qquad p\in\{0,\ldots,n\}, q\in\{0,\ldots,n-p\} \tag2$$ A estos los llamo subpolinomios de términos consecutivos (CTSPs) de $f(x)$.
Incluyendo $(p,q)=(0,n)$ (es decir, el polinomio original $f(x)$) y $(p,q)=(0,0)$ (el polinomio constante $g(x)=a_0$), el número total de CTSPs de un polinomio de grado $n$ es el número triangular $$\frac12(n+1)(n+2) \tag3$$
Cualquier RRSP es necesariamente un CTSP, pero no es cierto a la inversa. Trivialmente (y por convención para el polinomio constante $g(x)=a_0$), cualquier CTSP de uno o dos términos es un RRSP. Después de eso, no hay garantías. Por ejemplo, todos los CTSPs de $x^3+4x^2+4x+1$ son real-rooted; sin embargo, como observó @GregMartin, $x^3+4x^2+4x+c$ es real-rooted para $1, pero su CTSP $4x^2+4x+c$ no lo es. Por lo tanto, $(3)$ es un límite superior en el número de RRSPs para un polinomio inicial dado.
(Un límite inferior es $1+(n+1)+n=2(n+1)$, contando a $f(x)$ en sí (por supuesto), y sus CTSPs de uno o dos términos.)
Contar exactamente los RRSPs generados por un polinomio dado sin examinar todos los CCSPs parece ser una tarea desafiante. Un enfoque preliminar más manejable podría ser encontrar condiciones bajo las cuales el conteo alcanza el límite superior. (No tengo tales condiciones que ofrecer aquí, solo algunos ejemplos de polinomios con límites superiores individuales y una familia conjeturada.)
Como un paso hacia eso, podríamos recopilar instancias específicas. Por ejemplo, una búsqueda rápida en Mathematica encontró estos cuárticos $$ x^4+\phantom{0}8x^3+\phantom{0}16x^2+\phantom{00}8x+\phantom{00}1 \\ x^4+43x^3+293x^2+477x+192 \\ x^4+37x^3+299x^2+590x+271$$ (Probablemente Mathematica podría haber encontrado muchos más. Solo pedí tres instancias de cuárticos para los cuales los discriminantes de sus CTSPs cúbicos y cuadráticos son no negativos. No afirmo que sea una condición suficiente en general, pero funcionó aquí.)
También podríamos buscar familias de polinomios, como esta posibilidad:
Conjetura. Todos los CTSPs de $\;\sum_{k=0}^n \left(\frac{ax}{2^{k-1}}\right)^{k}\;$, con $a>0$, son real-rooted.
(La fórmula para $a_k$ surge al hacer que los discriminantes de todos los CTSPs cuadráticos se anulen. Mathematica verifica la conjetura para varios ejemplos que he probado, pero simplemente no he tenido tiempo para intentar una demostración.)
En particular, tomando $a=2^{n-1}$, de modo que $a_k=2^{k(n-k)}$, se obtiene un polinomio palindrómico con esta propiedad; por ejemplo, $x^3+4x^2+4x+1$ y $x^4+8x^3+16x^2+8x+1$ mencionados anteriormente.
Hasta aquí he llegado considerando esta intrigante pregunta.
