¿Por qué esta relación no es transitiva?

Question

Aquí hay una pregunta de mi libro electrónico:

Por definición, una relación $R$ en $A$ es transitiva si siempre que $xRy$ e $yRz$, entonces $xRz$. Es decir, la lógica es algo así como una "cadena" o un silogismo hipotético, si lo prefieres.

Entonces, en el diagrama anterior, tienes $xQy$ e $yQx$, y también tienes $xQx$, ¿entonces por qué no es transitiva? No entiendo su lógica del todo.

Answer 1

Ese es solo un caso. Tienes que verificar que para todos los elementos $a,b,c$ en el conjunto en el que se está haciendo la relación, si es cierto que $aRb$ y $bRc$, entonces también debe ser cierto que $aRc$. Has verificado esto para solo una asignación posible de $a,b,c$, es decir $a=c=x$ y $b=y$. También debes verificar qué sucede cuando $a=c=y$ y $b=x$, que es otra posibilidad. Esto se traduce a: Si $yRx$ y $xRy$ entonces $yRy$, lo cual no es cierto aquí. Por lo tanto, la relación no es transitiva.

Moral de la historia: la transitividad debe verificarse para todos los posibles valores de $a,b,c$. Es decir, para todos los tríos de elementos $(a,b,c)$ del conjunto, cada vez que sucede que $aRb$ y $aRc$, debe suceder que $aRc, pero ese no es el caso anterior para todas las posibilidades, aunque es cierto en un caso (el que señalaste). Así que realmente es la diferencia entre uno y todos.