Esta pregunta revela una deficiencia de las interacciones de corta duración entre objetos.
En el modelo más ingenuo, tenemos un bloque que está quieto y otro que se mueve hacia él. En algún momento especial $t_0$ chocan y hay una transferencia de momento. Las velocidades cambian instantáneamente, lo que significa que los objetos experimentan aceleraciones infinitas durante una duración de longitud cero.
La física aborrece las infinidades.
Un modelo más sofisticado modela los dos bloques como elásticos. Son como dos resortes. Cuando una caja se acerca a la otra, eventualmente entran en contacto. Los dos resortes se comprimen un poco durante una cantidad finita de tiempo, se transfiere un poco de momento, luego los bloques dejan de tocarse con el resultado final siendo una transferencia de momento. Los resortes pueden vibrar un poco incluso después de la colisión. Esto sería evidencia de una colisión inelástica.
Pero ese modelo aún tiene el problema de que inicialmente los resortes no están comprimidos y luego instantáneamente sienten un cambio rápido en su tasa de compresión. Esto, nuevamente, es una infinitud.
Un modelo más sofisticado considera la repulsión electromagnética sentida entre los objetos debido a los objetos que los constituyen. En este caso, la fuerza entre los objetos sigue un potencial de Lennard-Jones, por lo que incluso a largas distancias hay una fuerza súper pequeña pero aún no nula entre los dos objetos. A medida que se acercan, la fuerza aumenta hasta que la distancia entre ellos es del orden del espaciado interatómico. Luego, la fuerza entre los dos objetos aumenta rápidamente, pero suavemente. Los lattices se comprimirán un poco como en el modelo anterior, y habrá una transferencia neta de momento como en el modelo original.
En este modelo todo es suave. No hay un momento especial $t_0$. Hay un breve, pero finito, período de tiempo en el que las partículas experimentan una fuerza repulsiva grande debido a la parte repulsiva del potencial de Lennard-Jones, pero todas las variables físicas evolucionan suavemente sin importar qué $t_0$ especial elijas. No hay paradojas. Solo una evolución hamiltoniana suave.
Los "paradoxes" como estos suelen resolverse recordando que la naturaleza aborrece una infinitud y descubriendo cómo hacer que tu modelo sea más sofisticado para evitar la infinitud.
