¿Qué sucede cuando un coche comienza a moverse? El último momento en que el coche está en reposo frente al primer momento en que el coche se mueve

Question

Imagina un coche que está en reposo y luego comienza a moverse. Considera estos dos momentos:

1. El último momento en que el coche está en reposo.
2. El primer momento en que el coche se mueve.

La pregunta es: ¿qué sucede entre estos 2 momentos? Puede sonar como una pregunta tonta y probablemente lo sea: mi profesor de física nos hizo esta pregunta hace años y nunca nos dio la respuesta. Aparentemente la respuesta "los 2 momentos coinciden" no era una respuesta válida.

Recientemente supe que falleció, por lo que nunca sabré si solo nos estaba tomando el pelo o si era una pregunta razonable. ¿Sabes cuál podría ser la respuesta?

Answer 1

Imagina un coche que está en reposo y luego comienza a moverse. Considera estos dos momentos:

El último momento en que el coche está en reposo.

El primer momento en que el coche se mueve.

La pregunta es: ¿qué sucede entre estos 2 momentos?

Nota, esto es un acertijo matemático, no un acertijo físico.

Al parecer, la respuesta "los 2 momentos coinciden" no era una respuesta válida

Eso es correcto. "Los 2 momentos coinciden" no es una respuesta válida. El error clave es asumir que ambos momentos existen en primer lugar. Debido a que la pregunta asume que ambos existen, es una pregunta trampa. Es posible que uno u otro exista, o ninguno, pero no ambos.

En algún momento, $t$, "el coche está en reposo" significa $v(t)=0$ y "el coche se mueve" significa $v(t)\ne 0$ donde $$v(t)=x'(t)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x(t+h)-x(t)}{h}$$ Entonces "el último momento en que el coche está en reposo" es $\max\{t|v(t)=0\}$ y "el primer momento en que el coche se mueve" es $\min\{t|v(t)\ne 0\}$

Para que este límite exista, la posición $x(t)$ debe ser diferenciable. No todas las funciones lo son. Si $x(t)$ no es diferenciable, entonces no hay max ni min $t$ como se describe arriba.

Por ejemplo, si imaginamos (ya que este es un ejercicio matemático en lugar de un ejercicio físico) que $$x(t)=\begin{cases} t & 0\leq t \\ 0 & t<0 \end{cases}$$ Para esta función, el límite anterior no existe en $t=0$ por lo que $v(0)$ no está definido, lo que significa que para $t=0$ no se puede decir que el coche se mueve, ni que está en reposo. El coche no se está moviendo para cualquier $t$ negativo, pero no hay un número negativo máximo, por lo que no hay un último momento en que está en reposo. El coche se está moviendo para cualquier $t$ positivo, pero no hay un número positivo mínimo, por lo que no hay un primer momento en que se mueve.

Imagina en cambio que $$x(t)=\begin{cases} t^2 & 0\leq t \\ 0 & t<0 \end{cases}$$ esta función es diferenciable en $t=0$ con $v(0)=0$, lo que significa que el coche no se mueve para ningún $t$ no positivo, y el coche se mueve para cualquier $t$ positivo. El número no positivo máximo es $0$ por lo que el último momento en que el coche está en reposo es $t=0$. No hay un número positivo mínimo, por lo que no hay un primer momento en que el coche se mueve.

En cualquier $t$ tal que $x(t)$ sea diferenciable, entonces $v(t)$ tendrá un valor único. Ese valor será cero o no será cero, pero no ambos. Por lo tanto, cualquier $t$ dado no puede ser al mismo tiempo el primer momento en que se mueve y el último momento en que no se mueve. Por lo tanto, "los 2 momentos coinciden" es de hecho una respuesta incorrecta a una pregunta trampa.

Answer 2

Has caído en un agujero de conejo que mantuvo a físicos y filósofos discutiendo durante siglos.

La descripción que diste de un auto en reposo es una descripción clásica en términos de la mecánica de Newton. Si asumimos valores continuos para la posición y la velocidad, la pregunta de "entre momentos" se vuelve indefinida, ya que no hay un número real positivo "junto al 0", como otros señalaron.

La mecánica cuántica, sin embargo, da una descripción diferente, donde las partículas no tienen vectores de posición y momento de precisión infinita. Incluso el estado de energía más bajo no es exactamente cero, algo de energía de punto cero permanece. Tampoco podemos enfriar partículas hasta 0 Kelvin y detenerlas por la misma razón. En esencia, la naturaleza resuelve este dilema asegurándose de que nada esté nunca en reposo. Todo está vibrando todo el tiempo.

Respeto a tu profesor por darle a mentes jóvenes un desafío difícil de resolver. Respeto a ti por seguir reflexionando sobre ello.

Answer 3

Si tu maestro no acepta "los dos momentos coinciden" como respuesta, entonces tal vez tu maestro creía en los infinitesimales. Alguien dio sentido al análisis no estándar, pero no se usa habitualmente en matemáticas.

Answer 4

El coche, como casi todo lo demás, siempre está en movimiento. O al menos sus diferentes partes lo están. Cuando comienza a moverse en una dirección en particular, algunas partes empezarán a moverse antes que otras. Por lo tanto, probablemente tiene sentido hablar de un período entre el último punto en el que ninguna de sus partes se estaba moviendo en ninguna dirección en particular (también conocido como 'no moverse' cuando se considera a una escala más grande) y cuando todas sus partes empezaron a moverse en una dirección en particular. Lo mismo se aplicaría a una bola de golf al ser golpeada. El lado hacia el palo de golf comienza a moverse primero, deformando la bola, mientras que el lado opuesto al palo permanece más o menos estacionario durante un tiempo muy corto.

Answer 5

Este esencialmente es un resumen de la versión de Dale:

Si la velocidad $v(t)$ es una función continua en el tiempo $t$ (lo cual es plausible para un automóvil con aceleración limitada), entonces $v^{-1}(0)$ es un conjunto cerrado como la preimagen de un conjunto cerrado. El último momento en que el automóvil no se está moviendo (es decir, la velocidad es cero) está bien definido $$ \max v^{-1}(0) = \max\{t\in \mathbb{R}: v(t)=0\}, $$ asumiendo que el automóvil no se detiene nuevamente más tarde. Mientras que el primer momento en que el automóvil se está moviendo está mal definido ya que $v^{-1}(\mathbb{R}\setminus 0)$ es un conjunto abierto como la preimagen de un conjunto abierto. Por lo tanto, no tiene un mínimo (primer momento en que el automóvil se está moviendo). Su ínfimo está bien definido y coincide con el último momento en que el automóvil se está moviendo.