¿Qué sucede cuando un coche comienza a moverse? El último momento en que el coche está en reposo frente al primer momento en que el coche se mueve

Question

Imagina un coche que está en reposo y luego comienza a moverse. Considera estos dos momentos:

1. El último momento en que el coche está en reposo.
2. El primer momento en que el coche se mueve.

La pregunta es: ¿qué sucede entre estos 2 momentos? Puede sonar como una pregunta tonta y probablemente lo sea: mi profesor de física nos hizo esta pregunta hace años y nunca nos dio la respuesta. Aparentemente la respuesta "los 2 momentos coinciden" no era una respuesta válida.

Recientemente supe que falleció, por lo que nunca sabré si solo nos estaba tomando el pelo o si era una pregunta razonable. ¿Sabes cuál podría ser la respuesta?

Answer 1

Supongamos que el último momento en el que el coche estaba en reposo es en $t_0=0$. ¿A qué hora es el primer momento en el que el coche se mueve?

Supongamos que eliges algún número $t_{first} > 0$. No importa qué número elijas. Siempre puedes demostrar que hay un problema con él.

Hay un número $t_{first}/2$. Este número es mayor que $0$, por lo que es después de $t_0$. Así que el coche no está en reposo. Está antes de $t_{first}$, así que el coche aún no ha comenzado a moverse.

Esto es una contradicción. Muestra que no puedes elegir un momento después de $t_0$ que sea el momento en que el coche se mueve por primera vez. Debes concluir que el coche comienza a moverse en $t_0$. Así que tienes razón en desconfiar de su respuesta.

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Esta pregunta sigue generando interés, así que pensé que añadiría algo a mi respuesta.

Los primeros números son importantes. Este paradox fue propuesto por primera vez por Zeno. No se resolvió durante miles de años. Pero es bastante sencillo para los matemáticos modernos.

Dicho eso, todavía tienes que tener cuidado con él. No he sido lo suficientemente cuidadoso. La resolución que propuse es que en $t = t_0$, el coche está tanto en reposo como en movimiento. Esto suena como un paradox.

Está bien - soy físico. El propósito de la física es modelar el comportamiento del universo. Una inconsistencia lógica tan pequeña no cambia en absoluto el comportamiento predicho del coche. Los físicos hacen aproximaciones más grandes todo el tiempo.

Pero no es suficiente para un matemático. Los matemáticos modelan ideas. La lógica es su única herramienta. Si la lógica no es hermética, se puede probar una afirmación falsa. Y una afirmación falsa se puede usar para probar más. Toda la estructura de las matemáticas colapsaría.

Entonces un matemático prestaría más atención a las definiciones. ¿Qué se entiende exactamente por "en reposo" o "ha comenzado a moverse"? ¿Está en reposo el coche si su posición no ha cambiado? ¿Si su velocidad es $0$?

Notaría que no he demostrado realmente que el coche haya comenzado a moverse en $t_0$. Sólo en todo momento después de $t_0$. No hay tal cosa como el primer momento en el que la posición del coche ha cambiado. Solo hay un último momento en el que no ha cambiado.

Este tipo de distinción es crucial para la topología de conjuntos punto. Determina muchas propiedades interesantes de los espacios topológicos. (¿De dónde sino CalTech vendría una introducción como el enlace de la División de Humanidades y Estudios Sociales?)

Answer 2

Esta es una versión del paradoxo de la flecha de Zenón. Una solución es rechazar la dicotomía implícita de "en reposo" o "en movimiento" y decir que hay un tiempo $t$ tal que para todos los tiempos antes de $t$ el automóvil está en reposo y para todos los tiempos después de $t$ el automóvil está en movimiento pero que en el momento $t$ en sí, el automóvil no está en reposo ni en movimiento. Por lo tanto, no hay un último momento en el que el automóvil esté en reposo, y no hay un primer momento en el que esté en movimiento.

Esto es como decir que no hay un número real negativo más grande y no hay un número real positivo más pequeño porque entre los números negativos y positivos hay un número cero que no es ni negativo ni positivo.

Por supuesto, no hay una única respuesta "correcta" a este tipo de pregunta; el objetivo de tu profesor al hacer la pregunta era hacerte pensar sobre la naturaleza del tiempo y la naturaleza del movimiento, y claramente ha tenido éxito ya que aún recuerdas la pregunta.

Answer 3

Su respuesta es completamente razonable - los dos momentos coinciden. No hay sentido físico de "entre" dos puntos en el tiempo que tienen una duración arbitrariamente pequeña entre ellos. No hay un momento en el que el coche haya dejado de estar en reposo, pero aún no haya comenzado a moverse. Solo hay dos estados mutuamente excluyentes, el coche no puede estar en reposo y no moverse al mismo tiempo.

"Entre" es la palabra equivocada a usar. Podemos hablar de lo que sucede "en" el momento en que el coche deja de estar en reposo y comienza a moverse, ya que eso es un solo momento. En ese momento, simplemente, el coche comienza a moverse.

Para decirlo de otra manera, considera que dos valores separados por una diferencia infinitesimal en realidad son exactamente iguales a otro (como se describe aquí). Para cualquier duración que puedas suponer entre cuando el coche deja de estar en reposo y cuando comienza a moverse, podemos observar que no hay una transición que tome tanto tiempo: la duración entre los dos puntos en el tiempo es infinitesimalmente pequeña, por lo tanto, los dos puntos en el tiempo son iguales. Son simplemente diferentes formas de nombrar el mismo punto en el tiempo, es un poco como preguntar qué sucede entre las 12:00 p. m. y el mediodía. El concepto de "entre" requiere dos objetos distintos y no tiene sentido semántico cuando se aplica a solo un objeto. La pregunta mencionada anteriormente es más claramente absurda cuando se reformula como "¿qué sucede entre el mediodía y el mediodía?".

Answer 4

Los dos momentos que mencionas no son especiales. Puedes hacer la misma pregunta sobre cualquier otra pareja de velocidades que estén infinitesimalmente cerca. Por ejemplo, puedes considerar el último momento en que el auto no iba a más de diez millas por hora y el primer momento en que lo hacía. Dado eso, es incorrecto considerarlos como el mismo momento. Para ver por qué, considera una serie de velocidades infinitesimalmente cercanas, y etiquétalas como S0, S1, S2, S3 y así sucesivamente. Si consideras que el auto va a S0 y luego a S1 'en el mismo momento', entonces debes aplicar el mismo argumento a S1 y S2, luego a S2 y S3, y así sucesivamente, lo que te lleva a la conclusión obviamente falsa de que el auto está yendo a todas las velocidades a la vez. Si deseas una comprensión adecuada de los principios involucrados aquí, realmente estás hablando de los fundamentos del cálculo, ya que así es como estás modelando la aceleración del auto.

Por supuesto, todo lo que acabo de decir es una gran simplificación de todos modos. Si realmente zoomaras en términos de tiempo para examinar el movimiento del auto en una escala de tiempo fenomenalmente corta, encontrarías que nunca estuvo completamente quieto para empezar. Los átomos y moléculas constituyentes del auto estarían vibrando aleatoriamente con energía calorífica, y a medida que el auto comenzara a acelerar, no lo haría de forma monolítica, en su lugar se comportaría de una manera enormemente complicada, con el movimiento de algunas partes rezagado detrás de otras.

Answer 5

Hay un problema fundamental con esta pregunta que la hace imposible de responder en términos físicos reales. Para entender por qué, necesitamos pensar en la física por un momento y cómo los modelos matemáticos no son la realidad (el mapa no es el territorio.)

Empecemos con algunos conceptos básicos. El movimiento es un cambio de ubicación. El movimiento inherentemente requiere el paso del tiempo. La velocidad es (en este contexto) la tasa de movimiento en un período de tiempo. Entonces, cuando decimos que algo se está moviendo o se ha movido, lo que queremos decir es que en el tiempo A, un objeto estaba en una cierta ubicación y en el tiempo B, estaba en otra ubicación. Así que, otra forma de hacer tu pregunta es "¿en qué momento la velocidad del auto pasó de 0 a algo mayor que 0?"

Está bien presentar argumentos lógicos sobre esto y hay una larga historia al respecto. Pero la física no es solo argumentos lógicos y problemas matemáticos. Lo que distingue a la física (y a la ciencia en general) son las observaciones empíricas.

¿Cómo podemos determinar experimentalmente cuándo comienza este movimiento? Una opción sería configurar una cámara de video con una velocidad de fotogramas conocida. Podemos examinar los fotogramas y encontrar el primero donde la posición del vehículo ha cambiado. Genial. Pero hay un problema: solo sabemos en qué intervalo comenzó el movimiento. Es decir, sabemos que el movimiento comenzó entre cuando se tomó ese fotograma y cuando se tomó el fotograma anterior. Pero durante ese intervalo, tenemos el mismo problema exacto con el que comenzamos. Entonces, obtenemos una cámara de alta velocidad y acortamos el intervalo. Obtenemos una cámara aún más rápida. Usamos un láser en su lugar. Seguimos trabajando para hacer el intervalo más pequeño. Sin embargo, en última instancia, alcanzamos los límites de la precisión de nuestra tecnología. No importa cuán precisa sea la tecnología, solo identificaremos un intervalo, no un momento.

Y la física convencional dice que esto no es solo un límite de nuestra tecnología actual, sino más bien un aspecto fundamental de la naturaleza. Simplemente no hay forma de tomar una medición sin algún intervalo finito de tiempo. Lo mejor que podremos decir es que en el tiempo A estaba en la posición X y en el tiempo B estaba en la posición Y. Lo que sucede durante ese intervalo de tiempo medible más pequeño es una cuestión de conjetura.