Integración por partes con una integral definida

Question

Tengo lo siguiente:

\begin{align} \int_{0}^{1}\int_{0}^{y^{2}}\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\ dx\ dy&=\int_{0}^{1}\left.\arctan{\left(\frac{x}{y}\right)}\right|_{x=0}^{x=y^{2}}\ dy\\ &=\int_{0}^{1}\arctan{(y)}\ dy\\ &=y\arctan{(y)}-\int_{0}^{1}\frac{y}{1+y^{2}}\ dy \end{align}

Puedo resolver la integral, pero mi pregunta es - ¿qué debería hacerse con los valores de y a la izquierda? Nunca he hecho IBP antes en una integral definida, así que nunca surgió.

Se supone que esto se debe hacer sin cambiar el orden de integración - había considerado esa ruta, pero eso es hasta mi próxima tarea.

Answer 1

La última parte debe ser

$\dots =y\arctan{(y)}|_{y=0}^{y=1}-\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{y}{1+y^{2}}\ dy = \frac{1}{4}\pi -\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{y}{1+y^{2}}$

Answer 2

No deberías tener $y$ restante en el primer término — debería ser $$\begin{bmatrix}y\arctan y\end{bmatrix}^1_0$$