¿Por qué se explica que "un pequeño sistema en contacto con un depósito explora todos los estados posibles"?

Question

Un fragmento de las notas de mi primera clase de mecánica estadística:

Para un ejemplo simple, considera una sola partícula de espín medio hacia abajo en el sistema 1 que entra en contacto térmico con el sistema 2 que contiene nueve partículas de espín medio todas hacia arriba. Después del contacto térmico, es más probable que la partícula en el sistema uno sea encontrada con espín hacia arriba; es decir, como una de las partículas en el sistema grande. De hecho, después del contacto térmico, hay un total de 10 estados con un espín hacia abajo y las restantes 9 hacia arriba, y la probabilidad de encontrar la partícula en el sistema 1 con espín hacia arriba es de 9/10 1. Por otro lado, supongamos que el sistema 2 tiene cinco partículas hacia arriba y cuatro hacia abajo antes del contacto térmico. Ahora la partícula en el sistema 1 tiene igual probabilidad de ser encontrada con el espín hacia arriba o hacia abajo. La lección es que un sistema pequeño, como una sola partícula, tiende a parecerse a un conjunto de sistemas pequeños, o la partícula única explora los estados de cada una de las partículas en el sistema más grande en contacto térmico. Por lo tanto, un sistema mucho más pequeño, como una sola partícula, en contacto térmico con un sistema grande exhibe fluctuaciones significativas.

Mis preguntas son

1. ¿Qué se quiere decir exactamente con "la partícula única explora los estados de cada una de las partículas en el sistema más grande en contacto térmico"?

2. ¿Qué significa "exhibir fluctuaciones significativas"? ¿Qué está cambiando, y cambia con el tiempo (por ejemplo, cada segundo)? ¿Qué causa este cambio de segundo a segundo/por qué sucede?

Answer 1

Sin entrar en dinámica estadística, podemos describir los estados de las partículas como puntos en espacio de fases. En termodinámica, este es el espacio conjunto de posiciones y momentos.
Piensa en 1 dimensión: el espacio de fases de UNA partícula sería un plano 2-d con $x$ y $p_x$ como sus ejes. Agrega una segunda partícula y tienes un espacio 4-d y así sucesivamente. En 3-d (usualmente se deja fuera el tiempo en la mecánica clásica, así que no hay 4-d para ti) estos espacios se vuelven más grandes por un factor de tres.

El estado microscópico del sistema está entonces totalmente determinado por un punto en el espacio de fases, que codifica todas las posiciones y momentos de las partículas.
Los estados macroscópicos también de hecho están determinados por ese punto también, pero no de una manera única.
Puedes intercambiar partículas, hacer que una se mueva un poco más rápido a expensas de otra, rotar el sistema, etc. todo mientras cambias el microestado, pero manteniendo el mismo macroestado. Solo piensa en un gas en un globo: sin perturbaciones, la presión, temperatura y volumen permanecen iguales, sin embargo ninguna partícula está en reposo dentro de él, cambiando así su configuración en el espacio de fases.
Al cambiar estas pequeñas variables, decimos que el sistema "explora" el espacio de fases.
Un sistema con muy pocas configuraciones disponibles (quizás la caja es pequeña, por lo que el espacio de posiciones está restringido) ciertamente las explorará todas más rápido que un sistema con muchas más.

En una escala macroscópica, se puede utilizar la intuición de la termodinámica: tener un gas ideal en equilibrio en una pequeña cámara de pistón libre de expandirse/contraerse (sistema $A$). Poner esto en contacto con un disipador de calor enorme y muy caliente (sistema $B$) seguramente perturbará dicho equilibrio. Las moléculas de gas en $A$ empezarán a moverse rápidamente y chocar entre sí bastante violentamente, pero las de $B$ no lo harán. Esto se debe a que hay muchas más partículas con las que compartir energía y muchas más dimensiones del espacio de fases que explorar.
Mientras ocurre la interacción, las partículas en $B$ no se habrán movido mucho de sus posiciones y valores de momento iniciales excepto por flucutaciones estadísticas, pero las partículas en $A$, que es más pequeño y por definición tiene un espacio de fases más pequeño, lo habrán explorado a fondo. Debido a que el espacio de fases está conectado (todos los puntos son permitidos), es más probable que en cierto momento el microestado de $A$ coincida con uno de $B$, pero no al revés, y las "fluctuaciones" en $B$ son mucho menos significativas.

Super-simplificado: más espacio = más posibilidades, por lo tanto cada una es menos probable que ocurra en el lapso de la interacción.

Answer 2

Esto asume que el número total de spin up menos spin down está conservado por el Hamiltoniano microscópico.

Significa que la partícula única que estás analizando cambiará su propio valor de spin, intercambiando con el resto, todo el tiempo. Algo así como vivir vicariamente.

Si miras la partícula única frente al resto, en el caso mitad-mitad la partícula única fluctúa violentamente de todo arriba a todo abajo y viceversa, mientras que el sistema de 9 partículas solo fluctúa de 5 arriba 4 abajo a 4 arriba 5 abajo, que son pequeñas diferencias en promedio.

Realmente es una tontería.

Answer 3

1. ¿Qué se entiende exactamente por "la partícula única explora los estados de cada una de las partículas en el sistema más grande en contacto térmico"?

Esto no es una prueba, sino una suposición llamada ergodicidad, sobre la cual se construyen muchas formulaciones de la mecánica estadística (aunque existen formulaciones que evitan esta suposición). La afirmación es que, si observamos el sistema durante algún tiempo, permitiéndole evolucionar en el tiempo de acuerdo con sus leyes de movimiento, visitará todas las configuraciones posibles, pasando aproximadamente el mismo tiempo en cada una de ellas. Dado que nuestra observación/experimento siempre dura algún tiempo, observamos promedios temporales de cantidades, pero dada la suposición en la oración anterior, podemos reemplazar el promedio temporal por el promedio sobre (infinitamente) muchos sistemas que comienzan desde diferentes condiciones iniciales y son observados simultáneamente. Luego podemos usar la teoría de probabilidades habitual para desarrollar la mecánica estadística.

Se sabe que esta suposición se cumple en muchos casos. También conocemos muchas situaciones donde no se cumple, especialmente en los materiales que exhiben transiciones de fase. Por ejemplo, la magnetización de un ferromagneto debería, en principio, explorar todas las direcciones posibles. Sin embargo, en la práctica tendríamos que esperar mucho tiempo (comparable a la vida útil del universo) para verla revertir su dirección espontáneamente.

2. ¿Qué significa "exhibir fluctuaciones significativas"? ¿Qué está cambiando y cambia con el tiempo (es decir, cada segundo)? ¿Qué está causando este cambio de segundo a segundo/por qué ocurre?

Interacciones con el entorno, que está en constante movimiento.

Answer 4

La esencia del pasaje citado es que los sistemas pequeños presentan mayores fluctuaciones. Cuando dos sistemas entran en contacto térmico, la energía se redistribuye entre ellos manteniendo constante su valor total. Incluso en un equilibrio, cierta cantidad $\Delta E$ se intercambia entre los dos sistemas con igual probabilidad en cualquier dirección. Vemos esto como una "fluctuación" de la energía instantánea de cada sistema, es decir, $E_1 = \bar E_1 + \Delta E$ y $E_2 = \bar E_2 - \Delta E$, donde $\bar E_1$ y $\bar E_2$ son las energías medias en equilibrio. Si $E_1<\bar E_2$, la misma $\Delta E$ representa una mayor fluctuación porcentual para el sistema más pequeño.