Hipótesis de Riemann: Demostrando una relación entre $\psi(x)$ y $\pi(x)$

Question

Estoy tratando de demostrar lo siguiente

Si $\pi(x) = \operatorname{Li}(x) + O(x^{\frac{1}{2}}\log(x))$ entonces $\psi(x) = x + O(x^{\frac{1}{2}} \log^2(x))$

He intentado usar $\psi(x) = \theta(x) + O(x^{\frac{1}{2}} \log^2(x))$ y luego acotar $\theta(x)$ pero no pude llegar a ninguna parte.

He estado trabajando en este problema durante muchas horas ahora.

Las definiciones son las siguientes:

• $\operatorname{Li}(x) = \int_2^x \frac{1}{\ln t} dt$

• $\pi(x) = \sum_{p \leq x} 1$ con $p$ primo

• $\theta(x) = \sum_{p \leq x} \ln p$ con $p$ primo

• $\psi(x) = \sum_{p^k \leq x, k \geq 1} \ln p$ con $p$ primo

Answer 1

Puedes obtener el resultado escribiendo $\theta(x)$ como una integral de Riemann-Stieltjes e integrando por partes.

\begin{align} \theta(x) &= \int_{[2,x]} \ln t \, d\pi(t)\\ &= \pi(x)\ln x - \pi(2^-)\ln 2 - \int_2^x \pi(t)\,d\ln t\\ &= \pi(x)\ln x - \int_2^x \frac{\pi(t)}{t}\,dt. \end{align}

Ahora reemplaza $\pi(y)$ por $\operatorname{Li}(y) + O(\sqrt{y}\ln y)$ y estima los errores. Para evaluar

$$\int_2^x \frac{\operatorname{Li}(t)}{t}\,dt,$$

cambia el orden de integración.

Answer 2

La hipótesis de Riemann equivale a la afirmación de que $\pi(x)=Li(x)+O(\sqrt{x}\log(x))$. Esto implica que $\psi(x)=x+O(\sqrt{x}\log(x)^2)$. Para una referencia, consulta el artículo "Schoenfeld, Lowell (1976), "Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II", Mathematics of Computation 30". De hecho, Schoenfeld demostró que la HR implica que $$ |\psi(x)-x|<\frac{1}{8\pi}\sqrt{x}\log(x)^2 $$ para todo $x\ge 73.2$.