¿Por qué/cómo estoy contando de más aquí?

Question

Supongamos que tengo una clase de $24$ estudiantes. $16$ son hombres y $8$ son mujeres. Y quiero elegir un equipo de $8$ que tenga cuatro hombres y tres mujeres, el octavo miembro puede ser cualquiera. Entonces pensaría que hay $$\binom{16}{4}\cdot \binom{8}{3}\cdot \binom{17}{1} = 1732640$$ equipos diferentes posibles que cumplen con este requisito. Primero se eligirían los cuatro hombres, luego las tres mujeres, y luego la persona al azar.

Pero luego me di cuenta de que solo hay $$\binom{24}{8} = 735471$$ diferentes grupos de ocho en general. Entonces, ¿cómo estoy sacando grupos míticos extra? Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Hay dos posibilidades aquí: puedes seleccionar cinco hombres y tres mujeres o cuatro hombres y cuatro mujeres, lo cual se puede hacer de $$\binom{16}{5}\binom{8}{3} + \binom{16}{4}\binom{8}{4} = 372,008$$ maneras.

Al designar cuatro de los hombres como los cuatro hombres que seleccionas y tres de las mujeres como las tres mujeres que seleccionas y luego seleccionar una persona adicional de los $17$ personas restantes, cuentas cada selección con cinco hombres y tres mujeres cinco veces, una vez por cada una de las $\binom{5}{4}$ maneras en que podrías designar a cuatro de esos cinco hombres como los cuatro hombres que seleccionas, y cada selección con cuatro hombres y cuatro mujeres cuatro veces, una vez por cada una de las $\binom{4}{3}$ maneras en que podrías designar a tres de las cuatro mujeres como las tres mujeres que seleccionas. La razón de los errores es que el conjunto de personas adicionales no es disjunto del conjunto de hombres (cuando seleccionas cinco hombres y tres mujeres) o del conjunto de mujeres (cuando seleccionas cuatro hombres y cuatro mujeres).

Para ilustrar con cinco hombres y tres mujeres: Supongamos que los hombres son Andrew, Bruce, Charles, David y Edward y las mujeres son Fiona, Gloria y Harriet. Tu método cuenta esta selección cinco veces.

$$\begin{array}{l l l} \text{cuatro hombres} & \text{tres mujeres} & \text{persona adicional}\\ \hline \text{Andrew, Bruce, Charles, David} & \text{Fiona, Gloria, Harriet} & \text{Edward}\\ \text{Andrew, Bruce, Charles, Edward} & \text{Fiona, Gloria, Harriet} & \text{David}\\ \text{Andrew, Bruce, David, Edward} & \text{Fiona, Gloria, Harriet} & \text{Charles}\\ \text{Andrew, Charles, David, Edward} & \text{Fiona, Gloria, Harriet} & \text{Bruce}\\ \text{Bruce, Charles, David, Edward} & \text{Fiona, Gloria, Harriet} & \text{Andrew}\\

Para ilustrar con cuatro hombres y cuatro mujeres: Supongamos que los hombres son Andrew, Bruce, Charles y David y las mujeres son Esme, Fiona, Gloria y Harriet. Tu método cuenta esta selección cuatro veces.

$$\begin{array}{l l l} \text{cuatro hombres} & \text{tres mujeres} & \text{persona adicional}\\ \hline \text{Andrew, Bruce, Charles, David} & \text{Esme, Fiona, Gloria} & \text{Harriet}\\ \text{Andrew, Bruce, Charles, David} & \text{Esme, Fiona, Harriet} & \text{Gloria}\\ \text{Andrew, Bruce, Charles, David} & \text{Esme, Gloria, Harriet} & \text{Fiona}\\ \text{Andrew, Bruce, Charles, David} & \text{Fiona, Gloria, Harriet} & \text{Esme}\\

Nota que $$\color{red}{\binom{5}{4}}\binom{16}{5}\binom{8}{3} + \color{red}{\binom{4}{3}}\binom{16}{4}\binom{8}{4} = \color{red}{1,732,640}$$

Answer 2

El $\binom{17}{1}$ es el error.

Implica que después de haber elegido 4 hombres y 3 mujeres todavía tienes 17 personas para elegir. Y no es así.

Edición Lo que quiero decir con y no es así es que estas 17 personas ya han sido consideradas y no elegidas como parte de los dos grupos originales.

Una opción es considerar las dos posibilidades: la última persona es un hombre, la última persona es una mujer.

Esto hace que tu cálculo sea $\binom{16}{5}\times \binom{8}{3}+\binom{16}{4}\times\binom{8}{4} =372008$

Answer 3

Has contado todos los posibles conjuntos de 3 mujeres. Y luego también añadiste una persona extra que podría ser una mujer. Así que terminas con, por ejemplo, las mujeres 1,2,3 en el segundo factor y luego la mujer 4 que se elegirá en el factor final. Pero por separado tendrías a 1,2 y 4 en el segundo factor junto con contando a la mujer 3 en el factor final