¿Puedo demostrar que un conjunto con operaciones es un anillo a través de un homomorfismo de anillos?

Question

Tengo un conjunto $R$ con operaciones binarias $\oplus$ y $\otimes$. Estoy bastante seguro de que mi conjunto $R$ junto con estas dos operaciones binarias forman un anillo, y ya he demostrado que $\phi:R\to\mathbb{Z}$ es un homomorfismo de anillos, donde $\phi$ es alguna función.

La cuestión es que en realidad aún no he demostrado que $R$ sea un anillo (aunque estoy bastante seguro de que lo es)

¿Necesito demostrar que $R$ es un anillo, o la existencia del homomorfismo de anillos junto con el conocimiento de que $\mathbb{Z}$ es un anillo implica de alguna manera que $R$ también lo sea?

Answer 1

Los homomorfismos de anillos solo se definen entre cosas que ya sabemos que son anillos. Lo que tienes es una función que respeta dos operaciones binarias, lo cual no es suficiente. Aquí tienes un contraejemplo. Considera el conjunto $\mathbb{N}$ con la adición y la multiplicación. Esto no es un anillo porque no hay inversos aditivos. Pero la inclusión natural $\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$ respeta la adición y la multiplicación.

Ahora, si pudieras encontrar una función que preservara tus operaciones y fuera una biyección de conjuntos, eso sería suficiente (piensa en por qué).