¿Está demostrando que si dos vectores en $\mathbb{R}^n$ son linealmente independientes, entonces abarcan $\mathbb{R}^n$?

Question

Por ejemplo, si muestras que

$c_1 = c_2 = 0$

es la única solución para

$c_1\textbf{v}_1 + c_2\textbf{v}_2 = \textbf{0}$

Entonces has demostrado que $v_1$ y $v_2$ son linealmente independientes y abarcan $\mathbb{R}^n$ ¿verdad?

Answer 1

No. Dos vectores linealmente independientes solo abarcan $\mathbb R^{2}$. Pero, si $n>2$, dos vectores linealmente independientes solo pueden abarcar un subconjunto de $\mathbb R^{n}$ porque su base tiene el mismo número de elementos que su dimensión.

Answer 2

No, todo lo que muestra es que $\{v_1, v_2\}$ es linealmente independiente. Para mostrar que un conjunto $S$ abarca un espacio vectorial $V$, necesitas demostrar que cualquier vector $v \in V$ puede ser escrito como una combinación lineal de elementos de $S$: $$v=a_1s_1+a_2s_2+...+a_ns_n, \quad s_1,s_2, . . . , s_n\in S.$$ Hay conjuntos linealmente independientes que no abarcan (como $\{(0,0, 1), (0, 1, 0)\}$ en $\mathbb {R} ^ 3$) y conjuntos que abarcan que no son linealmente independientes (como $\mathbb {R} ^ 3$ en $\mathbb {R} ^ 3$).

Answer 3

Con solo dos vectores en $$\mathbb{R}^3$$ puedes abarcar un plano si los vectores son linealmente independientes o una línea si son paralelos o un punto si ambos son el vector cero.

Necesitas n vectores linealmente independientes para abarcar $$\mathbb{R}^n$$

Answer 4

No. La razón es que ningún conjunto de vectores menor que la dimensión del espacio vectorial puede ser un conjunto de vectores generadores para el espacio vectorial, al igual que ningún conjunto de vectores generadores mayor que la dimensión del espacio vectorial puede ser linealmente independiente.