Ejemplo de la Topología Algebraica de tom Dieck: $(D^n,S^{n - 1})\times ([0,1],\{0\}) \cong (D^n,\varnothing)\times ([0,1],\{0\})$

Question

Para pares de espacios topológicos, tom Dieck define un producto de la siguiente manera:

$(X,A)\times (Y,B) = (X\times Y, (X\times B)\cup(A\times Y))$.

En la página 36 del libro Algebraic Topology, tom Dieck proporciona el siguiente ejemplo:

La asignación $H\colon (x,t) \mapsto ((1/\alpha(x,t))(1 + t)x, 2 - \alpha(x,t))$ donde $\alpha(x,t) = \max\{2||x||,2 - t\}$ produce un homeomorfismo de pares $(D^n,S^{n - 1})\times ([0,1],\{0\}) \cong (D^n,\varnothing)\times ([0,1],\{0\})$

Dado que $D^n\times [0,1]$ es compacto y Hausdorff, para demostrar que $H$ es un homeomorfismo basta con demostrar que es continuo y biyectivo. Sin embargo, no tengo idea de cómo hacerlo, el mapa simplemente parece intimidante.

Answer 1

Tenemos $\alpha : D^n \times [0,1] \to [1,2]$.

1. $H : D^n \times [0,1] \to D^n \times [0,1]$ está bien definido: Escribimos $H(x,t) =(H_1(x,t),H_2(x,t))$ con $H_1(x,t) = \frac{1+t}{\alpha(x,t)}x$ y $H_2(x,t) = 2 - \alpha(x,t)$. Existen explícitamente $$H(x,t) = \begin{cases} \left( \frac{1+t}{2 -t}x,t \right) & 2\lVert x \rVert \le 2-t \\ \left( \frac{1+t}{2\lVert x \rVert}x , 2(1 - \lVert x \rVert) \right)& 2\lVert x \rVert \ge 2-t\end{cases}$$ Obviamente $H_2(x,t) \in [0,1]$ y $$\left\lVert H_2(x,t) \right\rVert = \begin{cases} \frac{1+t}{2 -t}\lVert x \rVert \le \frac{1+t}{2-t} \frac{2-t}{2} = \frac{1+t}{2} \le 1 & 2\lVert x \rVert \le 2-t \\ \frac{1+t}{2\lVert x \rVert}\lVert x \rVert = \frac{1+t}{2} \le 1 & 2\lVert x \rVert \ge 2-t\end{cases}$$

2. $H$ es continuo: Obvio.

3. $H$ es inyectivo: Sea $H(x,t) = H(x',t')$. Entonces, la segunda coordenada nos muestra que $\alpha(x,t) = \alpha(x',t')$ y luego la primera coordenada nos da $(1+t)x = (1+t')x'$. Por lo tanto, si $x = 0$ o $x' = 0$, entonces ambos $x = x' = 0$ y $2-t = \alpha(0,t) = \alpha(0,t') = 2-t'$, es decir, $t = t'$. Así que consideramos $x, x' \ne 0$. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que $t \le t'$. Si tuviéramos $t < t'$, entonces $\lVert x' \rVert = \frac{1+t}{1+t'}\lVert x \rVert < \lVert x \rVert$. Pero entonces $2\lVert x' \rVert < 2\lVert x \rVert$ y $2-t' < 2-t$, así que $\alpha(x,t) < \alpha(x',t')$, lo cual es imposible. Concluimos que $t = t'$ y $x = x'$.

4. $H$ es sobreyectivo: Sea $(y,s) \in D^n \times [0,1]$. (a) $\lVert y \rVert \le \frac{1+s}{2}$. Definimos $x = \frac{2-s}{1+s}y$ y $t = s$. Entonces $\lVert x \rVert = \frac{2-s}{1+s}\lVert y \rVert \le \frac{2-s}{1+s} \frac{1+s}{2} = \frac{2-s}{2} \le 1$ y $2\lVert x \rVert \le 2-s = 2-t$. Claramente $H(x,t) = (y,s)$. (b) $\lVert y \rVert \ge \frac{1+s}{2}$. Definimos $x = \frac{2-s}{2\lVert y \rVert}y$ y $t = 2\lVert y \rVert- 1 $. Entonces $\lVert x \rVert = \frac{2-s}{2\lVert y \rVert}\lVert y \rVert = \frac{2-s}{2} \le 1$ y $1 \ge t \ge s$. Por lo tanto $2\lVert x \rVert = 2-s \ge 2 - t$. Claramente $H(x,t) = (y,s)$.

5. Para $x \in S^{n-1}$, tenemos $H(x,t) = \left( \frac{1+t}{2}x , 0 \right)$, así que $H(S^{n-1} \times I) = \{ x \in \mathbb R^n \mid \frac{1}{2} \le \lVert x \rVert \le 1 \} \times \{0\}$. Para $x \in D^n$ y $t = 0$, tenemos $H(x,t) = \left( \frac{1}{2}x , 0 \right)$, así que $H(D^n \times \{0\}) = \{ x \in \mathbb R^n \mid \lVert x \rVert \le \frac{1}{2} \} \times \{0\}$. Concluimos que $H$ es el homeomorfismo deseado.