Demostrar que el grupo de Galois $Gal(L:K)$ es cíclico

Question

Sea $L$ una extensión de campo de un campo $K$. Supongamos que $L=K(a)$ y que $a^n\in K$ para algún entero $n$. Si $L$ es una extensión de Galois de $K$ (es decir, si $L$ es el campo de descomposición de $f(x)\in K[x]$, y $f$ es separable sobre $L$), entonces demuestra que el grupo de Galois $Gal(L:K)$ es cíclico.

Answer 1

Esto es falso. Sea $K=\Bbb{Q}$ y $a=e^{\pi i/8}$. Entonces $a^8=-1\in K$, y $L$ es el campo ciclotómico decimosexto. Es Galois sobre los números racionales, pero el grupo de Galois $\Bbb{Z}_{16}^*$ no es cíclico.

Answer 2

El problema es cierto si imponemos la condición de que $K$ contiene una raíz primitiva de la unidad.

Prueba: Dejando que $G_n$ sea el grupo de todas las raíces de la unidad podemos mostrar que hay una inyección $Gal(E/K) \to G_n$ dada por $\sigma \to \frac{\sigma(a)}{a}$. Así que, hemos terminado.

Si imponemos la condición de que $a^{i}$ no pertenece a $K$ para todo $i