Usando el Teorema de Green, calcular la integral....

Question

Usando el Teorema de Green, calcula la integral cerrada sobre $C$ $$\oint_C(3x+4y)dx+(2x-3y)dy$$ donde $C$ es el círculo de radio $4$ unidades, con su centro en el origen del plano $x, y$.

Mi enfoque: A partir del Teorema de Green, $$\oint_C(3x+4y)dx+(2x-3y)dy = \iint_A (\frac{\partial}{\partial y}(3x+4y) + \frac{\partial}{\partial x}(2x-3y)) dx \,dy$$

$\frac{\partial}{\partial y}(3x+4y)= 4$ y $\frac{\partial}{\partial x}(2x-3y)=2$, lo cual se combina para formar $\iint 6\,dx\,dy$. Ahora mi pregunta es, desde la pregunta, ¿cuál es el límite de las dos integrales que voy a tomar, es una integral de $0$ a $2 \pi$ y otra de $0$ a $4$, o algo más...

Por favor, revisa mi enfoque y dime si voy mal o bien??

Answer 1

Su enfoque es incorrecto porque aplicó la ecuación en el Teorema de Green de manera incorrecta. Además, una vez que vea que el integrando en la integral sobre el área es una constante, la integral en sí es simplemente el área encerrada por el círculo multiplicada por esa constante.

Sea $P(x,y) = 3 x+4 y$ y $Q(x,y) = 2 x-3 y$. Entonces, el Teorema de Green establece que la integral de línea sobre $C$ es

$$\iint_A dx dy\, \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) = \iint_A dx dy\,(2-4) = -32 \pi$$

Answer 2

Creo que deberías tener $\iint \limits_A -2 dx dy$ solo aplicando esto, te olvidaste de restar. Una vez hecho esto, no necesitas convertir a coordenadas polares.

Pista: ¿Qué puedes decir sobre una integral de la forma $\iint \limits_A dx dy$? ¿Qué representa?