El operador verde del problema de Dirichlet es compacto

Question

Deje $\alpha \in (0,1]$, $\Omega \subset \mathbb R^n$ abierto y acotado y el problema $$ \left\lbrace \begin{array}{r c l c l} - \Delta u&=&0&\operatorname{en}& \Omega \\ u&= & h&\operatorname{en}& \partial \Omega \end{array} \right. \tag{DP} $$ Mi ejercicio asume que sé que para todo $h \in C^{0,\alpha}(\overline \Omega)$ hay una solución única $u \in C^{2,\alpha}(\overline \Omega)$ de (DP). Entonces dejemos que $T : C^{0,\alpha}(\overline \Omega) \longrightarrow C^{2,\alpha}(\overline \Omega)$ sea la aplicación $h \longmapsto u$, la admitimos que es acotada linealmente (lineal fácil).

Ejercicio: Mostrar que $T : C^{0,\alpha}(\overline \Omega) \longrightarrow C^{0,\alpha}(\overline \Omega) $ es un operador compacto.

Intento: Deje que $(h_j)$ sea una secuencia acotada de $ C^{0,\alpha}(\overline \Omega) $, mostramos que $(Th_j)$ tiene un punto límite en $ C^{0,\alpha}(\overline \Omega) $. Dado que $T : C^{0,\alpha}(\overline \Omega) \longrightarrow C^{2,\alpha}(\overline \Omega) $ es acotado, $(Th_j)$ es acotado en $ C^{2,\alpha}(\overline \Omega) $. Entonces por Ascoli-Arzelà hay una extracción $\sigma$ y $u \in C^1(\overline \Omega)$ tal que $$ Th_{\sigma(j)} \xrightarrow[j \infty]{C^1(\overline \Omega)} u. $$ Solo queda obtener la convergencia de la semi-norma $[\cdot ]_\alpha$, es suficiente porque entonces $u \in C^{0,\alpha}(\overline \Omega)$ y $(Th_{\sigma(j)})$ tiende a $u$ en la norma de $C^{0,\alpha}(\overline \Omega)$. Si $\Omega$ es convexo puedo usar la desigualdad del valor medio \begin{align} [Th_{\sigma(j)} - u ]_\alpha &= \sup_{x \neq y \in \Omega} \frac{|(Th_{(\sigma(j)}-u)(x)- (Th_{(\sigma(j)}-u)(y)|}{|x-y|^\alpha} \\ &\leq \sup_{x \neq y \in \Omega} \frac{1}{|x-y|^\alpha} \sup_{(x,y)}|(Th_{\sigma(j)}-u)'| \times |x-y| \\ &\leq \operatorname{diam}(\Omega)^{1-\alpha}||Th_{\sigma(j)}-u||_{C^1(\Omega)} \end{align} y terminar la prueba. $\square$

El problema es controlar $[Th_{\sigma(j)} - u ]_\alpha$ cuando $\Omega$ no es convexo. Sospecho que el problema no es consistente cuando $\Omega$ no está conectado porque en general resolver ecuaciones diferenciales en conjuntos no conectados se reduce a resolver la ecuación en cada componente y unir todo.

Si $\Omega$ está conectado (por un camino) creo que hay una forma de salvar mi método de prueba, para cualquier curva $\gamma :[0,1] \longrightarrow \Omega$ que verifica la hipótesis de Rolle y que une $x$ y $y$ la desigualdad del valor medio aplicada a $(Th_{(\sigma(j)}-u )\circ \gamma$ nos da $$ |(Th_{(\sigma(j)}-u)(x)- (Th_{(\sigma(j)}-u)(y)| \leq || \gamma ||_{C^1(0,1)} \sup_{(0,1)} |(Th_{(\sigma(j)}-u)' \circ \gamma| \leq || \gamma ||_{C^1(0,1)} ||Th_{(\sigma(j)}-u||_{C^1(\Omega)}. $$ Luego, denominando $\mathcal A_x^y$ el conjunto de tales curvas, podemos considerar la siguiente métrica en $\Omega$ $$ d(x,y) = \inf\{ || \gamma ||_{C^1(0,1)} : \gamma \in \mathcal A_x^y \} $$ que se parece a la métrica geodésica y es tal que $$ |(Th_{(\sigma(j)}-u)(x)- (Th_{(\sigma(j)}-u)(y)| \leq d(x,y) ||Th_{(\sigma(j)}-u||_{C^1(\Omega)} $$ por lo tanto $$ [Th_{\sigma(j)} - u ]_\alpha \leq ||Th_{(\sigma(j)}-u||_{C^1(\Omega)} \sup_{x \neq y \in \Omega} \frac{d(x,y)}{|x-y|^\alpha}. $$ Si el último supremo es finito entonces he terminado.

Pregunta:

1. ¿Es el último supremo finito? Creo que debería depender de la geometría de $\Omega$, pero aún así, tener un resultado para una pequeña clase de conjuntos abiertos sería bueno

2. ¿Cómo podría terminar la prueba de que $T$ es compacto?

Answer 1

Aquí está una respuesta a mi problema, de hecho solo necesitamos demostrar que una función $C^1$ en un conjunto compacto es Lipschitz.

Afirmación: Sea $\Omega \subset \mathbb R^n$ abierto acotado con frontera $C^1$ y $f \in C^1(\overline \Omega ; \mathbb R)$. Entonces $f$ es Lipschitz.

Prueba: Primero notar que $f'$ está acotada en $\overline \Omega$, por lo tanto, por la desigualdad del valor medio, cualquier $x \in \Omega$ tiene un vecindario convexo en el que $f$ es Lipschitz. Luego asumimos por contradicción que $f$ no es Lipschitz, existen $(x_j),(y_j)$ dos secuencias de $\Omega$ tales que $$ x_j \neq y_j,\quad \frac{|f(x_j)-f(y_j)|}{|x_j-y_j|} \longrightarrow + \infty. $$ Entonces, por la compacidad de $\overline \Omega$, podemos asumir sin pérdida de generalidad que $$ x_j \longrightarrow x \in \overline \Omega,\quad y_j \longrightarrow y \in \overline \Omega $$ y como $f$ es continua en $\overline \Omega$, debemos tener $x = y$, de lo contrario el último cociente tiene un límite finito. Debe ser que $x \in \partial \Omega$ porque de lo contrario $x \in \Omega$ donde $f$ es localmente Lipschitz. Entonces utilizamos la regularidad de $\partial \Omega$ para introducir $\phi : B(x,r) \longrightarrow B(0,1)$ un $C^1$-difeomorfismo tal que $$ \phi(\Omega \cap B(x,r)) = B(0,1) \cap \{ x_n > 0 \},\quad \phi(\partial \Omega \cap B(x,r)) = B(0,1) \cap \{ x_n = 0 \}. $$ Entonces $f \circ \phi^{-1} : B(0,1) \cap \{ x_n > 0 \} \longrightarrow \mathbb R$ es de clase $C^1$ en un conjunto convexo abierto y al reducir $r$ y $B(0,1)$ podemos asumir que $(\phi^{-1})'$ está acotado, por lo que $f \circ \phi^{-1}$ tiene derivada acotada. Por lo tanto, es Lipschitz y para $j$ grande de modo que $x_j,y_j \in B(x,r)$ tenemos \begin{align} \frac{|f(x_j)-f(y_j)|}{|x_j-y_j|} &= \frac{|f \circ \phi^{-1} \circ \phi (x_j) - f \circ \phi^{-1} \circ \phi (y_j)|}{|\phi(x_j) - \phi(y_j)|} \frac{|\phi(x_j)-\phi(y_j)|}{|x_j-y_j|} \\ &\leq \operatorname{Lip}(f \circ \phi^{-1})\operatorname{Lip}(\phi), \end{align} contradicción.$\square$