¿Cómo resolver $\iiint_T \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy\,dz$?

Question

Necesito resolver la integral $$\iiint_T \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy\,dz\,,$$ donde $T$ es el dominio bloqueado por el cilindro $x^2+y^2=2x$, el cono $z=\sqrt{x^2+y^2}+1$ y el plano $z=0$.

La solución:

Para entender exactamente la relación entre $\theta $ y $ r $, observaremos la ecuación del cilindro. El dominio $T$ está bloqueado por un cilindro, por lo tanto en $T$ se cumple $(x-1)^2 + y^2 \leq1 $. Vamos a realizar el cambio de variables y obtendremos: $$ \geq (r\cos\theta -1)^2+r^2\sin^2\theta =1+r^2-2r\cos\theta $$ Entonces $r\leq 2\cos\theta$.

Realmente tengo dificultades para entender la solución. ¿Por qué, para encontrar la restricción en $r$, tuvieron que realizar una desigualdad en la ecuación del cilindro? ¿Es posible explicar la solución?

Answer 1

En $T$, tienes $0 y luego

$$\iiint_T \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy\,dz=\iint_D\int_0^{\sqrt{x^2+y^2}+1}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dz\,dx\,dy=$$ $$\iint_D\frac{x(\sqrt{x^2+y^2}+1)}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy=\iint_D x+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy$$

donde $D$ es la proyección de $T$ sobre el plano $XY$, es decir, $x^2+y^2-2x\leq0$ o $(x-1)^2+y^2\leq1$. Trabajando en coordenadas polares

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos(\theta)}\left(r\cos(\theta)+\cos(\theta)\right)r\,dr\,d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{8 \cos ^4(\theta)}{3}+2 \cos ^3(\theta)\,d\theta=\boxed{\frac{8}{3}+\pi}$$