La maximalidad de subálgebras de Cartan de álgebras de Lie

Question

En algunas notas de mis clases definimos una subálgebra de Cartan $\mathfrak h$ para $\mathfrak g$ semisimple como una subálgebra abeliana de $\mathfrak g$ que contiene elementos ad-diagonalizables que son maximales.

Luego dice que para álgebras de Lie más generales $\mathfrak g$, una subálgebra de Cartan se define como una subálgebra nilpotente autonormalizante. Luego continúa diciendo que esto es automáticamente maximal entre las subálgebras nilpotentes.

Mi pregunta es ¿cómo se demostraría esto (que es maximal)? Dice automáticamente, pero no veo cómo se llega a esa conclusión. Gracias de antemano.

Answer 1

Esta es una consecuencia del

Teorema de Engel: Si $V\neq 0$ es una representación de dimensión finita de un álgebra de Lie ${\mathfrak g}$ tal que cualquier $X\in{\mathfrak g}$ actúa nilpotentemente en $V$, entonces $0\neq V^{\mathfrak g} := \{v\in V\ |\ X.v=0\text{ para todo } X\in{\mathfrak g}\}$.

Ahora supongamos que ${\mathfrak h}\subsetneq {\mathfrak t}$ son dos subálgebras nilpotentes de tu álgebra dada ${\mathfrak g}$. Entonces ${\mathfrak h}$ actúa en ${\mathfrak t}/{\mathfrak h}$ mediante la acción adjunta (esto no significa que ${\mathfrak t}/{\mathfrak h}$ hereda una estructura de álgebra de Lie, y no necesitamos asumir que ${\mathfrak h}$ es un ideal aquí), y debido a la nilpotencia de ${\mathfrak t}$, se satisface la hipótesis del Teorema de Engel. Por lo tanto, encuentras algún $0\neq\overline{T}\in{\mathfrak t}/{\mathfrak h}$ tal que $0=[\overline{H},\overline{T}]=\overline{[H,T]}$ en ${\mathfrak t}/{\mathfrak h}$ para todo $H\in{\mathfrak h}$ - en otras palabras, $T\in{\mathfrak t}\setminus{\mathfrak h}$ pero $[H,T]\in{\mathfrak h}$ para todo $H\in{\mathfrak h}$. Por lo tanto, $T\in{\mathfrak n}_{\mathfrak g}({\mathfrak h})\setminus{\mathfrak h}$.