¿Por qué se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz en cualquier espacio de producto interior?

Question

Estoy trabajando en problemas de álgebra lineal en el Cálculo de Apostol, y él tiene numerosos problemas que parecen implicar que Cauchy-Schwarz se cumple sin importar cómo se defina el producto interno. Luego, tiene problemas en los que la desigualdad del triángulo se cumple a pesar de definiciones alternativas de la norma del vector. Esto me hizo pensar, ya que la prueba de la desigualdad del triángulo en Apostol se basa en Cauchy-Schwarz, que la desigualdad del triángulo se cumpliría independientemente de cómo se defina la norma del vector (si implica el producto punto).

Luego encontré esta respuesta a una pregunta, que establece lo que estaba pensando.

¿Hay alguna prueba de que la desigualdad de Cauchy-Schwarz se cumple en cualquier espacio de producto interno (busqué algunas y no encontré ninguna y no pude demostrarlo yo mismo)? He tenido un semestre de álgebra (Artin) y algo de análisis, si hay una prueba a ese nivel de comprensión. Las explicaciones intuitivas también son buenas.

Answer 1

Sea $t=\operatorname{sign}(\langle v,w\rangle)$, entonces $t\in \{-1,0,1\}$ y por desigualdad triangular, $|v+tw|\leq |v|+|t||w|\leq |v|+|w|$, por lo tanto $$|v + tw|^2=|v|^2+2t\langle v,w\rangle+|w|^2\leq |v|^2+2|v||w|+|w|^2.$$ Por lo tanto $$t\langle v,w\rangle=|\langle v,w\rangle|\leq |v||w|.$$

Answer 2

De hecho, se cumple en cualquier forma sesquilineal en cualquier espacio vectorial, ni siquiera necesariamente un espacio normado. La prueba es trivial.