¿Por qué se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz en cualquier espacio de producto interior?

Question

Estoy trabajando en problemas de álgebra lineal en el Cálculo de Apostol, y él tiene numerosos problemas que parecen implicar que Cauchy-Schwarz se cumple sin importar cómo se defina el producto interno. Luego, tiene problemas en los que la desigualdad del triángulo se cumple a pesar de definiciones alternativas de la norma del vector. Esto me hizo pensar, ya que la prueba de la desigualdad del triángulo en Apostol se basa en Cauchy-Schwarz, que la desigualdad del triángulo se cumpliría independientemente de cómo se defina la norma del vector (si implica el producto punto).

Luego encontré esta respuesta a una pregunta, que establece lo que estaba pensando.

¿Hay alguna prueba de que la desigualdad de Cauchy-Schwarz se cumple en cualquier espacio de producto interno (busqué algunas y no encontré ninguna y no pude demostrarlo yo mismo)? He tenido un semestre de álgebra (Artin) y algo de análisis, si hay una prueba a ese nivel de comprensión. Las explicaciones intuitivas también son buenas.

Answer 1

Wikipedia tiene la que usualmente he visto.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Nada especialmente complicado al respecto, solo una configuración realmente ingeniosa.

Answer 2

Lo siguiente es de Cauchy-Schwarz Masterclass por Michael J. Steele. El libro también tiene una pequeña motivación para esta prueba, y recomiendo encarecidamente a cualquiera que lo lea.

Para cualquier $u, v$ tenemos $$(u-v, u-v) \ge 0.$$

Reorganizando, tenemos

$$(u, u) + (v, v) \ge 2 (u, v)$$

o $$||u||^2 + ||v||^2 \ge 2 (u, v).$$

Ahora, hay un truco bien conocido para pasar de una desigualdad aditiva (como la anterior) a una multiplicativa (como C-S). Se llama "Normalización". Aplica la desigualdad anterior a los vectores $u' = u/||u||$, $v' = v/||v||$. Al hacerlo, obtenemos

$$1+1 \ge 2(u/||u||, v/||v||)$$

y reorganizando obtenemos

$$||u||\cdot ||v|| \ge (u, v)$$ como se deseaba.

Answer 3

La prueba en Wikipedia es válida y es instructiva porque utiliza ideas que son aplicables en otros lugares del álgebra lineal. La prueba que suelo ver usualmente selecciona los vectores u, v y define

$$f(t) = \langle u + t v , u + t v \rangle$$

y nota que f es no negativo para todo t, debido a la definición positiva del producto interno. Expandiendo el producto interno por bilinealidad y combinando términos similares por simetría, se obtiene una función cuadrática de t:

$$f(t) = \| v \|^2 t^2 + 2 \langle u,v\rangle t + \| u \|^2.$$

(En el caso complejo se debe hacer algo ligeramente diferente.)

Esto es no negativo, por lo que su discriminante es no positivo, en otras palabras:

$$4 \langle u,v\rangle^2 - 4 \| u \|^2 \| v \|^2 \leq 0$$

de donde se sigue la desigualdad.

Una forma equivalente de ver esto (para $v \neq 0$) es encontrar el mínimo de $f$. Esto ocurre en $t=-\langle u , v \rangle/\| v \|^2$. Entonces:

$$\langle u , v \rangle^2/\| v \|^2 - 2 \langle u , v \rangle^2/\| v \|^2 + \| u \|^2 = \| u \|^2 - \langle u , v \rangle^2/\| v \|^2 \geq 0$$

Una simple reorganización produce la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Esto es algo similar a la prueba en Wikipedia, porque $u-\langle u,v \rangle/\| v \|^2 v$ es la proyección de $u$ en el complemento ortogonal del espacio generado por $v$.

Answer 4

Aquí hay una perspectiva alternativa: La desigualdad de Cauchy-Schwarz se cumple en todo espacio de producto interno porque se cumple en $\mathbb C^2$. En la pág.34 de Lectures on Linear Algebra, Gelfand escribió:

Cualquier afirmación 'geométrica' relacionada con dos o tres vectores es verdadera si es verdadera en la geometría elemental del espacio tridimensional. De hecho, los vectores en cuestión abarcan un subespacio de dimensión a lo sumo tres. Este subespacio es isomorfo al espacio tridimensional ordinario (o un subespacio de él), y por lo tanto basta verificar la afirmación en este último espacio. En particular, la desigualdad de Schwarz -- un teorema geométrico sobre un par de vectores -- es verdadera porque es verdadera en geometría elemental.

En nuestro caso, la observación de Gelfand se traduce en lo siguiente. Permita que $x$ y $y$ sean dos vectores en un espacio de producto interno $V$ sobre un campo $\mathbb F=\mathbb R$ o $\mathbb C$. Deje $S_V=\operatorname{span}\{x,y\}$ y $m=\dim S_V$. Al definir un mapa lineal $\mathbb F$ que mapea una base ortonormal de $S_V$ a una base ortonormal de un subespacio $S_{\mathbb C^2}$ de $\mathbb C^2$ de dimensión $m$, uno puede verificar que $T$ es una isometría, es decir, $\langle u,v\rangle_V=\langle Tu,Tv\rangle_{\mathbb C^2}$ para cualquier $u,v\in S_V$. Se sigue que $|\langle x,y\rangle_V|\le\|x\|_V\|y\|_V$ si y solo si $|\langle Tx,Ty\rangle_{\mathbb C^2}|\le\|Tx\|_{\mathbb C^2}\|Ty\|_{\mathbb C^2}$, pero esto último es simplemente la desigualdad de Cauchy-Schwarz en $\mathbb C^2$.

Por lo tanto, si puede demostrar que la desigualdad de Cauchy-Schwarz se cumple en $\mathbb C^2$, también debe cumplirse en todo espacio de producto interno $V$ sobre $\mathbb R$ o $\mathbb C$, incluso cuando $V$ es de dimensión infinita (pero $\mathbb C^2$ no lo es).

Observe la sutil diferencia entre esta respuesta y las demás. En cada una de las otras respuestas, se da una prueba genérica tal que la desigualdad se prueba de una vez por todas para cada espacio de producto interno. Aquí, no probamos la desigualdad directamente. En cambio, mostramos que la desigualdad en un espacio de producto interno general se desprende de su versión específica en $\mathbb C^2$. Cómo se prueba en realidad en $\mathbb C^2$ no es nuestra preocupación. Claro está que, para probarlo en $\mathbb C^2$, podemos terminar usando las pruebas dadas en las otras respuestas. Sin embargo, el punto que Gelfand hizo es que si hemos aprendido una prueba de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en $\mathbb C^2$ en el pasado, entonces no necesitamos preocuparnos si la prueba es genérica o no, porque la validez de la desigualdad es automáticamente genérica.

Answer 5

Esta es una pregunta antigua pero aquí hay una prueba interesante que la generaliza un poco. Esto está adaptado de Real Analysis de Folland. Considera un escalar unitario $\alpha$ (es decir, $|\alpha| = 1$) y algún $t \in (0,\infty)$. Entonces,

$$\begin{align*} \langle x -\alpha ty, x-\alpha ty\rangle &= \langle x, x-\alpha ty\rangle + \langle -\alpha ty, x-\alpha ty\rangle \\ &= \langle x,x\rangle - \left(\overline{t} \langle x, \alpha y\rangle +t \langle \alpha y,x\rangle\right) + \underbrace{\alpha\overline{\alpha}}_{=|\alpha|^2=1} t^2 \langle y,y\rangle \\ &= \langle x,x\rangle - \underbrace{\left(\overline{t \langle x, \alpha y\rangle} + t \langle x,\alpha y\rangle\right)}_{2t\operatorname{Re} \langle x,y\rangle} + t^2 \langle y,y\rangle \\ &= \|y\|^2 t^2 - 2\operatorname{Re} \langle x,\alpha y\rangle t + \|x\|^2. \end{align*}$$

Ahora, esta es una cuadrática en $t$, y observamos que se abre hacia arriba y no es negativa. Por lo tanto, consideremos su discriminante, $b^2 -4ac \le 0$.

Donde $b = 2\operatorname{Re} \langle x,\alpha y\rangle$. Sin embargo, dado que $\alpha = \frac{z}{\|z\|} = \operatorname{sgn} z$ para algún $z$, tenemos $\langle x, \alpha y\rangle = \langle \alpha y, x\rangle = |\langle x, y\rangle|$; por lo tanto, $\operatorname{Re}\langle x,\alpha y\rangle = |\langle x, y\rangle|$.

Por lo tanto, obtenemos

$$4|\langle x,y\rangle|^2 \le 4\|x\|^2\|y\|^2 \implies |\langle x,y\rangle| \le \|x\|\|y\|.$$