Puede 23 de este polycube encajan en un cuadro de 5x5x5?

Question

Considere el siguiente pentacube (vista frontal y posterior).

He utilizado Burr Herramientas para determinar que el 24 de estos NO encajan en un cuadro de 5x5x5. Según mis notas cuando se trabaja en este problema hace un tiempo 22 caben en un cuadro de 5x5x5. Pero la cuestión de si 23 le es desconocido para mí.

Burr herramientas es incapaz de responder a esta pregunta con al menos un día de la computación. Mi conjetura es que este problema es más difícil que en otros envases porque:

1. El pentacube encaja en un 2x2x2 caja y no tiene simetría rotacional, por lo tanto el pentacube puede ser en 24*4*4*4=1536 diferentes posiciones dentro de un cubo de 5x5x5.

2. Dos copias de la pentacube puede formar de la misma forma (que encaja en un cuadro de 2x2x3) de dos maneras diferentes. Así, el programa puede estar tratando de posibilidades que son equivalentes a las anteriores posibilidades.

Alguna idea de si el 23 de estos caben en un 5x5x5 cuadro?

Answer 1

No es posible para adaptarse a 23 de estos pentacubes en un cuadro de 5x5x5. Yo mostrar que eran una de embalaje para existir, la mitad superior e inferior del embalaje debe tener algunos cubos en común, una imposibilidad. Esta prueba utiliza algunos de los resultados de la Rebaba de Herramientas, he incluido el archivo pertinente aquí. Para simplificar la notación que nos llame a este pentacube, $A$.

Desde $A$ encaja en un cuadro de 2x2x2, no importa lo que la orientación de la $A$, ocupando parte de exactamente dos capas. Por lo tanto, consideramos que el 5 de 5x5 capas de la caja. Permítanos número de las capas 1 a 5.

Algunos de estos pentacubes será en las capas 1 y 2, o 2 y 3. Llamar a estos la parte Inferior. El resto será en 3 y 4, o 4 y 5. Llamar a estos la parte Superior. Burr herramientas comprueba que un 3x5x5 bloque no puede contener 13 $A$ (pero puede contener 12.) Por lo tanto, para pack 23 $A$ en un cuadro de 5x5x5, de 12 años deben ser en la parte Inferior y 11 en la parte Superior (o al revés, pero la simetría no importa.)

Un embalaje de 12 $A$ en el 3x5x5 Fondo debe cubrir cada una de las resaltado 4 cubos en la capa 3, como Burr herramientas verifica que el 12 $A$ no va a caber en un 3x5x5 cuadro, incluso con una de estas células vacante.

Desde estos 4 celdas debe ser parte de la parte Inferior de embalaje, que no debe ser parte de la parte Superior. Sin embargo Burr instrumentos muestra que el 11 $A$ no va a caber en el 3x5x5 sección Superior, con las cuatro células excluidos. Por lo tanto no hay ningún embalaje de 23 $A$ en un cuadro de 5x5x5.