Integrando un gran producto de senos

Question

Recientemente, me encontré con la siguiente integral: $\int_{0}^{2\pi}\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)\sin(4x)~\mathrm dx=\frac{\pi}{4}$, la cual puede ser fácilmente resuelta mediante algo de trigonometría.

Pero al intentar encontrar un resultado más general: $I_n=\int_{0^{2\pi}}\prod_{k=1}^n\sin(kx)\mathrm dx$, no pude encontrar un resultado muy general para el problema. ¿Hay alguna manera de encontrar $I_n$ como una fórmula "simple"?

Mi intento: Es fácil ver que $I_n = 0$ para n impar. Usando la fórmula de producto de senos a suma para $I_{2n}$: $I_{2n}=\frac{(-1)^n}{4^n}\int_{0}^{2\pi}\sum_{e_k\in\{-1,1\}}(\cos(e_1x+2e_2x+3e_3x+\cdots+2ne_{2n}x)e_1e_2\cdots e_{2n})~\mathrm dx$.

Observa que cada integral en la suma se va a cero, excepto cuando la expresión dentro del coseno es cero. Podemos reescribir $I_{2n}$ como: $I_{2n}=2\pi\frac{(-1)^n(A_{2n}-B_{2n})}{4^n}$, donde $A_{2n}$ y $B_{2n}$ están relacionados con el número de formas de hacer que esta expresión se anule con un número par e impar de signos negativos para $e_k$. Después de eso, no pude simplificar más el problema.

Answer 1

Se puede expresar en la forma $\frac{\pi A_n}{2^{n-1}}$ de la siguiente manera.

$$\begin{aligned}\int_0^{2\pi} \prod_{k=1}^n \sin(kx)~\mathrm dx&= \int\limits_0^{2\pi} \prod_{k=1}^n \frac{e^{i k x}-e^{-i k x}}{2i}~\mathrm dx\\&= \frac{1}{(2i)^n} \int_0^{2\pi} \prod_{k=1}^n \frac{1}{e^{i k x}} \cdot \prod_{k=1}^n \left(e^{2i k x}-1\right)\mathrm dx\\&= \frac{1}{(2i)^n} \int_0^{2\pi} \frac{1}{e^{i N x}} \cdot \prod_{k=1}^n \left(e^{2i k x}-1\right)\mathrm dx\qquad\text{donde } N=\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2\\&= \frac{1}{i(2i)^n} \int_0^{2\pi} \frac{1}{e^{i N x+ix}} \cdot \left(\prod_{k=1}^n \left(e^{2i k x}-1\right)\right) \cdot ie^{i x}~\mathrm dx\qquad\text{Sea}~z=e^{ix}\\&= \frac{1}{i(2i)^n} \int_{|z|=1}\frac{1}{z^{N+1}} \prod_{k=1}^n \left(z^{2 k }-1\right)\mathrm dz\qquad\text{Integral de contorno}\\&=\frac{1}{i(2i)^n} \int_{|z|=1}\frac{f_n(z)}{(z-0)^{N+1}}~\mathrm dz\qquad\text{donde }f_n(z)=\prod_{k=1}^n \left(z^{2 k }-1\right)\\&=\frac{1}{i(2i)^n}\cdot\frac{2\pi i}{N!}\cdot f_n^{(N)}(0)\qquad\text{Fórmula integral de Cauchy}\\\color{red}{\int_0^{2\pi} \prod_{k=1}^n \sin(kx)~\mathrm dx}&\color{red}{=\frac{\pi}{2^{n-1}}\cdot\frac{f_n^{(N)}(0)}{i^nN!}} \end{aligned}$$ donde,
$N=\frac{n(n+1)}2$
$f_n^{(N)}(0)$ es la $N$-ésima derivada de $f_n(z)=\displaystyle\prod_{k=1}^n \left(z^{2 k }-1\right)$ en $z=0$.
$i=\sqrt{-1}$ es la unidad imaginaria, y $i^n=e^{i\pi n/2}$.

Intuición y Observación: Dado que $i^n$ es imaginario para $n\equiv1,3\pmod4$, $f_n^{(N)}(0)$ y $A_n=\frac{f_n^{(N)}(0)}{i^nN!}$ deben ser cero ya que $f_n^{(N)}(0)$ es real. Según Mathematica, $f_n^{(N)}(0)=0$ y $A_n=0$ para $n\equiv2\pmod4$. $f_n^{(N)}(0)$ y $A_n$ son diferentes de cero solo si $n$ es múltiplo de $4$. Por lo tanto, la integral $I_n=0$ a menos que $4\mid n$.