Deje $K\subseteq G$. Muestre que si $\chi$ es un carácter monomial de $G$, entonces, si $\chi_K \in Irr(K)$, $\chi_K$ es un carácter monomial de $K.

Question

Pregunta: (Esto es 5.8 en Isaacs CTFG) Sea $\chi$ un carácter monomial de $G$ y supongamos que $K\subseteq G$ con $\chi_K\in\text{Irr}(K)$. Demuestra que $\chi_K$ es un carácter monomial de $K$.

Mi idea: Entonces, queremos demostrar que $\chi_K=\lambda^K$ donde $\lambda$ es un carácter lineal de algún subgrupo de $K$. Así que, sea $H\subseteq K\subseteq G$ y sea $\lambda\in\text{Irr}(H)$. Entonces, por la Reciprocidad de Frobenius, tenemos $[\lambda,(\chi_K)_H]=[\lambda^K,\chi_K]=[(\lambda^K)^G,\chi]=[\lambda^G,\chi]$, donde la última igualdad sigue del ejercicio 5.1. No estoy seguro si esto es correcto y si esto nos llevará a alguna parte. Hasta ahora, no he logrado avanzar de manera útil. Tampoco he utilizado el hecho de que $\chi$ es monomial, pero esperaba que el hecho de que $\chi$ aparezca en el producto interno final pueda ser usado al ser monomial y llevarnos a algún lugar.

Cualquier ayuda es muy apreciada! Gracias.

Answer 1

Necesitas el siguiente lema.

(Te insto a dibujar un diagrama para representar los diferentes grupos y caracteres.)

Lema Sean $H$ y $K$ subgrupos de $G$ y $\varphi$ un carácter de $H$. Supongamos que $(\varphi^G)_K \in Irr(K)$. Entonces $G=HK$.

Prueba Sea $\varphi^G=\chi$. Observa que dado que $(\varphi^G)_K$ es irreducible, tanto $\varphi$ como $\chi$ deben ser irreducibles. Sea $\psi \in Irr(H \cap K)$ un constituyente irreducible de $\varphi_{H \cap K}$.

Por la Reciprocidad de Frobenius, $\varphi$ debe ser un constituyente irreducible de $\psi^H$, digamos $\psi^H=a\varphi+\Delta$, con $a$ un entero positivo y $\Delta$ un carácter de $H$ con $[\Delta,\varphi]=0$ o $\Delta=0$. Se sigue que $\psi^G=(\psi^H)^G=a\varphi^G+\Delta^G=a\chi+\Delta^G$. Entonces, nuevamente por la Reciprocidad de Frobenius, $[\psi^G,\chi]=[(\psi^K)^G,\chi]=[\psi^K,\chi_K] \geq a.$

Por otro lado, $a=[\varphi,\psi^H]=[\varphi_{H \cap K},\psi]$, entonces $\varphi_{H \cap K}=a\psi+\Gamma$ con $\Gamma$ un carácter de $H \cap K$ con $[\Gamma,\psi]=0$ o $\Gamma=0$. Por lo tanto $(\varphi_{H \cap K})^K=a\psi^K+\Gamma^K$ y se sigue que $[(\varphi_{H \cap K})^K, \chi_K]=[a\psi^K+\Gamma^K,\chi_K]=a[\psi^K,\chi_K]+[\Gamma^K,\chi_K] \geq a^2$, por la última fórmula del párrafo anterior. Esto significa que el carácter irreducible $\chi_K$ tiene al menos multiplicidad $a^2$ como constituyente irreducible de $(\varphi_{H \cap K})^K$. Esto implica que $$(\varphi_{H \cap K})^K(1)=\varphi(1)|K:H \cap K| \geq a^2\chi(1) \geq \chi(1)=\varphi(1)|G:H|$$ Se sigue que $|G| \leq \frac{|H| \cdot |K|}{|H \cap K|}=|HK|$. Por lo tanto, $G=HK$, ya que $HK \subseteq G$ como un conjunto.$\square$

Notas (1) Este es el Problema (5.7) en el libro de Isaacs. (2) De la última parte de la prueba se sigue que de hecho $a=1$.

Corolario 1 Sea $\chi$ un carácter monomial de $G$ y supongamos que $K \leq G$ con $\chi_K \in Irr(K)$. Entonces $\chi_K$ es monomial.

Prueba Podemos encontrar un $H \leq G$ y un lineal $\lambda \in Irr(H)$ con $\lambda^G=\chi$. Dado que $\chi_K$ es irreducible, el Lema garantiza que $G=HK$. Pero entonces (ver Problema (5.2) en CTFG de Isaacs), $\chi_K=(\lambda^G)_K=(\lambda_{H \cap K})^K$, por lo tanto $\chi_K$ es monomial.$\square$