Prueba de sobreyectividad

Question

Sea $f_1:\mathbf{R}^2 \rightarrow\mathbf{R}$ y $f_2:\mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}$ dos funciones y definamos $f:\mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2$ por $f(x,y)=(f_1(x,y),f_2(x,y))$.

Si $f$ es sobreyectiva, demuestra que $f_1$ y $f_2$ también son sobreyectivas.

Mi demostración es la siguiente.

Sea $(a,b)\in\mathbf{R}^2$. Dado que $f$ es sobreyectiva, para cada $(a,b)\in\mathbf{R}^2$ existe $(x,y)\in\mathbf{R}^2$ tal que $f(x,y)=(a,b)$.

Por lo tanto, $f_1(x,y)=a\in\mathbf{R}$ y $f_2(x,y)=b\in\mathbf{R}$. Pero dado que $a$ y $b$ son arbitrarios, entonces $f_1$ y $f_2$ son sobreyectivas.

Pero creo que falta algo.. ¿Cómo puedo justificar mejor la última oración?

Answer 1

Una forma de reescribir lo que dijiste de forma más "formal" es mostrar directamente que tanto $f_1$ como $f_2$ son sobreyectivas:

Entonces, ¿qué significa que una función sea sobreyectiva?

Dados los conjuntos $X, Y$ y una función $f:X \to Y$, decimos que $f$ es sobreyectiva si para cada $y \in Y$, existe un $x\in X$ tal que $f(x)=y$

El problema en este caso es demostrar que $f_1$ y $f_2$ son sobreyectivas. Así que volvemos a nuestra definición e intentamos ver cómo encajan $f_1$ y $f_2$:

En ambos casos, el conjunto $X = \Bbb{R}^2$ y $Y= \Bbb{R}$ y tenemos $f_i : \Bbb{R}^2 \to \Bbb{R}$

Entonces tomemos $x \in \Bbb{R}$. Para ver que $f_1$ es sobreyectiva, queremos ver que existe $(a,b) \in \Bbb{R}^2$ tal que $f_1(a,b)=x$ (esto es exactamente la definición de sobreyectividad).

Ahora, dado que $f$ es sobreyectiva, dado $(x,0) \in \Bbb{R}^2$ existe $(a',b') \in \Bbb{R}^2$ tal que $f(a',b')=(f_1(a',b'),f_2(a',b'))=(x,0)$.

Lo cual significa que $f_1(a',b')=x$ y $f_2(a',b')=0$. Por lo tanto, encontramos nuestro elemento $(a,b)\in \Bbb{R}^2$ tal que $f_1(a,b)=x$. Este elemento es precisamente $(a',b'). Así que, $f_1$ es sobreyectiva.

Answer 2

Puedes justificarlo mejor eligiendo de antemano los valores de $a$ y $b$ que desees.

"Para demostrar que $f_1$ es sobreyectiva, afirmamos que para todo número real $a$, existen $x$, $y$ tal que $f_1(x,y)=a".

Luego continúa. Incluso puedes combinar las pruebas de sobreyectividad para cada una si lo deseas.