¿Desigualdad de Cauchy-Schwarz para Integrales de Grassmann?

Question

Para funciones cuadrado integrables $f,g$ de una variable real, la desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que $$ \left(\int f(x)g(x)\,dx \right)^2 \le \int f(x)^2\,dx \int g(x)^2\,dx. $$

Mi pregunta es: ¿hay algún análogo conocido de esto para funciones de variables de Grassmann (o variables mixtas)?

Como primer paso, veamos qué sucede con las funciones de una sola variable de Grassmann $\xi$. Las funciones $f$ y $g$ son entonces de la forma $$ f(\xi) = f_0 + f_1\xi \qquad g(\xi) = g_0 + g_1\xi. $$ Calculando el lado izquierdo de nuestro tentativo "Cauchy Schwarz Fermiónico" tenemos $$ \left(\int f(\xi)g(\xi) \,d\xi\right)^2 = \left(\int d\xi \, f_0g_0 + (g_0f_1+f_0g_1)\xi \,d\xi \right)^2 = g_0^2f_1^2 + 2f_0g_0f_1g_1 + f_0^2g_1^2 $$ mientras que en el lado derecho tenemos $$ \int f(\xi)^2\,d\xi \int g(\xi)^2 \, d\xi = \int f_0^2 + 2f_0f_1 \xi \, d\xi \int g_0^2 + 2g_0g_1 \xi \, d\xi = 4f_0g_0f_1g_1. $$ Juntando los dos lados, tomando $a = g_0f_1$ y $b = f_0g_1$ tenemos $$ \begin{split} &g_0^2f_1^2 + 2f_0g_0f_1g_1 + f_0^2g_1^2 \stackrel{?}{\le} 4f_0g_0f_1g_1\\ &g_0^2f_1^2 + f_0^2g_1^2 \stackrel{?}{\le} 2f_0g_0f_1g_1\\ &a^2 + b^2 \stackrel{?}{\le} 2ab\\ &a^2 + b^2 \stackrel{!}{\ge} 2ab \end{split} $$ Entonces, el "Cauchy Schwarz Fermiónico" es simplemente la desigualdad elemental de Young ¡No demasiado sorprendente, el Cauchy Schwarz Fermiónico va en la dirección opuesta, lo cual encaja con la experiencia habitual de Grassmann como "matemáticas normales, pero al revés y en un espejo"!

Mis intentos de extender esto a funciones mixtas han sido hasta ahora infructuosos con la excepción de funciones de una variable supersimétrica (digamos $z = x^2+y^2+2\xi\eta$), que trivialmente da la igualdad $f(0)^2g(0^2) = f(0)^2g(0)^2.

De hecho, incluso intentando el cálculo anterior con solo dos variables de Grassmann conduce a una expresión que no es una desigualdad en ninguna dirección. La esperanza es que tal vez esto se pueda corregir al trabajar con la clase "correcta" de funciones, por ejemplo, funciones analíticas de una sola variable aplicadas a una variable de Grassmann, o el producto de una función real con una función analítica de una variable bosónica supersimétrica.

Si alguien está al tanto de alguna referencia/camino a seguir/obstrucciones fundamentales a la idea, estaría muy agradecido.

Answer 1

Esto parece ser un ejercicio inútil.

1. En primer lugar, asumimos que $f$ y $g$ tienen una paridad de Grassmann definida. (Esta es una suposición estándar en la supermatemática.)

2. Si asumimos que $f$ es Grassmann-impar, entonces $f^2=0$, es decir, la construcción está muerta antes de tiempo.

3. Así que asumamos a partir de ahora que $f(\theta)=f_0+\theta f_1$ y $g(\theta)=g_0+\theta g_1$ son funciones de paridad Grassmann par de un indeterminado Grassmann-impar $\theta$. En otras palabras, $f_0,g_0$ son Grassmann-par y $f_1,g_1$ son Grassmann-impar.

4. Luego, la integral de Berezin $I=\int\! d\theta~ f(\theta)g(\theta) $ es Grassmann-impar, y por lo tanto el cuadrado $I^2=0$, es decir, la construcción está nuevamente muerta antes de tiempo.

5. Además, $ \int\! d\theta ~f(\theta)^2 \int\! d\theta^{\prime} ~g(\theta^{\prime})^2$ es un producto de dos supernúmeros Grassmann-impares, es decir, es un supernúmero Grassmann-par de valor espiritual, consulte, por ejemplo, mi respuesta en Phys.SE aquí. No está claro cómo introducir un orden $\leq$ entre supernúmeros de valor espiritual Grassmann-par, y más en general, cómo interpretar supernúmeros de valor espiritual.

Answer 2

OK, parece que OP adicionalmente requiere que los coeficientes (de un superpolinomio) pertenezcan al cuerpo $\mathbb{R}$ (en lugar del alma).

1. Se puede mostrar que la desigualdad de Cauchy-Schwarz (CS) opuesta(!) de OP $$\left(\int\!d^n\theta~ f(\theta)g(\theta)\right)^2 ~\geq~ \int\!d^n\theta~ f(\theta) \int\!d^n\theta^{\prime}~ g(\theta^{\prime})\tag{1}$$ se cumple si tanto $f(\theta)$ como $g(\theta)$ son una suma de $\leq 2$ monomios. Por ejemplo, la desigualdad (1) se cumple con $n=2$ y $$f(\theta)~=~f_0+\theta_1\theta_2 f_3, \qquad g(\theta)~=~g_0+\theta_1\theta_2 g_3, \qquad f_0,f_3,g_0,g_3~\in~ \mathbb{R}. \tag{2}$$ La desigualdad (1) no se cumple para polinomios más generales.

2. Otra idea es definir una forma sesquilineal $$\langle f, g\rangle~\propto~ \int\!d^n\theta^{\prime} ~\overline{f(\theta)} \wedge \star g(\theta),\tag{3}$$ con la ayuda del operador estrella de Hodge $\star$ (incluyendo factores de signo apropiados). Esto automáticamente satisface una desigualdad de CS usual. (Aquí asumimos que los indeterminantes Grassmann $\theta_i$ son reales.)