¿Cómo debo abordar una prueba como la siguiente para el producto interior:
Sea $K$ un campo y $V$ un espacio vectorial sobre $K$. Y $\omega_i \in V^*$ con $V^*$ el espacio dual de $V$. Se da que $$\iota_v(\omega_1 \otimes \cdots \otimes \omega_p) = \omega_1(v)\omega_2 \otimes \cdots \otimes \omega_p.$$ Ahora se debe demostrar que: $$\iota_v(\omega_1 \wedge \cdots \wedge \omega_p)=\sum_{i=1}^p (-1)^{i-1}(\iota_v\omega_i) \omega_1\wedge \cdots \wedge \widehat{\omega_i} \wedge \cdots \wedge \omega_p. \tag{1}$$
Intenté usar la definición del producto exterior a través de la suma sobre las permutaciones de $\operatorname{sgn}(\sigma)$ y el producto tensorial de los vectores duales dados y usé la función iota en esta definición, porque se da cómo se comporta el producto tensorial bajo ella. Entonces $$\iota_v(\omega_1 \wedge \cdots \wedge \omega_p) = \iota_v \bigg(\sum_{\sigma\in S_p} \operatorname{sgn}(\sigma) \omega_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes \omega_{\sigma(p)} \bigg).$$
Pero no estaba seguro de si tenía permitido cambiar la suma sobre las permutaciones a una suma de $1$ a $p$.
