Tangente paquete de $S^2$ no diffeomorphic a $S^2\times \mathbb{R}^2$

Question

Estoy tratando de demostrar que la tangente paquete de $S^2$ no diffeomorphic a $S^2\times \mathbb{R}^2$. Esto es de un examen, donde hay una pista que indica que esto es más que mostrar que el $TS^2$ no es trivial.

Yo sé cómo se muestran los peluda bola teorema, según el cual, $TS^n$ es no trivial si n es par.

También sé que un vector paquete de $\pi:E\rightarrow M$ de la fila $m$ sobre una suave colector $M$ es trivial (por definición) si existe un diffeomorphism $f:E\rightarrow M\times \mathbb{R}^m$ tal que para cada $p\in M$, $f$ induce un espacio vectorial isomorfismo $f:\pi^{-1}(p)\rightarrow \{p\}\times \mathbb{R}^m$.

Por lo que veo, mostrando que $TS^2$ no es trivial sólo garantiza que el $TS^2$ no es diffeomorphic a $S^2\times \mathbb{R}^2$ a través de una diffeomorphism satisfacer la propiedad de arriba, pero no es suficiente para concluir que no hay ninguna diffeomorphism.

¿Cómo puedo mostrar esto, entonces?

Answer 1

He aquí una prueba que se basa en un teorema de Kervaire con un poco involucrados en la prueba (creo que el caso particular de $n=k=2$ probablemente es mucho más fácil, pero no pude encontrar una prueba para confirmar mis sospechas.)

Teorema: La normal paquete a un $n$-esfera incrustado dentro de $\Bbb R^{n+k}$ es trivial si $k> \frac{n+1}2$

Esto implica una 2-esfera incrustado en $S^2 \times \Bbb R^2$ tiene un tubular barrio isomorfo (como los haces de fibras) a $ S^2 \times \Bbb R^2$, ya que el $S^2 \times \Bbb R^2$ incrusta como un open colector de $\Bbb R^4$. Si $f:TS^2\rightarrow S^2 \times \Bbb R^2$ es un diffeomorphism, a continuación, la imagen de la sección cero tiene un trivial tubular vecindario $N$ por encima de disscussion, pero, a continuación, $f^{-1}(N)$ es un trivial tubular barrio de la sección cero en $TS^2$.

Referencias:

• Massey En el Paquete Normal de una Esfera Incrustada en el Espacio Euclidiano
• Kervaire la Interpretación de G. Whitehead la Generalización de H. Hopf Invariable

Answer 2

Yo creo que si supongamos que existe un diffeomorphism $F$, entonces existe una correspondencia entre las secciones en $S^{2}\times\mathbb{R}^{2}$ y campos vectoriales en $TS^{2}$. Tomar la constante de la sección $s(x)=(x,(1,0))$ y por diffeomorphism no es $X\epsilon\mathfrak{X}(S^{2})$ tal que $dF(s)=X$, pero esta sección de fuga en el polo sur bajo estereográfica proyección, que significa $dF$ no es isomorfismo