Integral de superficie complicada de campo vectorial

Question

El siguiente problema proviene de un examen de cálculo vectorial.

Sea $$S = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}: z = e^{1 - (x^2 + y^2)^2}, z > 1 \right\}$$ una superficie incrustada con la orientación correspondiente a la dirección positiva de $\bf{OZ}$, y sea $$\mathbf F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3; (x,y,z)\mapsto (x e^{y^2}, 2ye^{x^2}, 5-3z)$$ un campo vectorial. Calcula el flujo de $\bf F$ a través de la superficie $S$, $$\iint_S \langle \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}\rangle$$

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Todavía no he encontrado una forma efectiva de resolverlo. Hasta ahora, he encontrado soluciones en términos de funciones de error o $$\int e^{x^2}dx$$ que están lejos de lo que uno esperaría a ese nivel. La mayoría de nuestros intentos han sido mediante el uso de coordenadas cilíndricas y los teoremas de Stokes y la divergencia de Gauss, pero estos términos incómodos siguen apareciendo.

Para aquellos que quieran intentarlo, les doy el vector $n$ normal a la superficie $$n= (-r^4 \cos\theta e^{1-r^4}, r^4\sin \theta e^{1-r^4}, r)$$ con las coordenadas cilíndricas de la superficie $(x,y,z) = (r\cos\theta, r\sin\theta, e^{1-r^4})$.

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Fuente

Aquí está la pregunta original en español.

Answer 1

Según la útil retroalimentación de @NinadMunshi, mi otra respuesta (que afortunadamente ahora fue eliminada por los moderadores de MSE a mi solicitud) era incorrecta. En ella, intenté dividir el campo $\bf F$ en dos campos $\bf F_1$ (antisimétrico en $x,y$) y $\bf F_2$ (simétrico en $x,y$). Entonces deduje incorrectamente que el flujo de $\bf F_1$ debería ser cero debido a su antisimetría, lo cual no es correcto ya que $d\bf S$ comparte la misma antisimetría con $\bf F_1$, por lo que el flujo es no nulo.

El vector de integración de superficie $dS$ se puede escribir como $$d{\bf S}=rdrd\phi \left(4r^3z\cos\phi\hat x+8r^3z\sin\phi \hat y+\hat z\right).$$ donde $z=e^{1-r^4}$. Por lo tanto, $${\bf F}\cdot{d\bf S}=drd\phi \left(4r^5\cos^2\phi e^{1+r^2\sin^2\phi-r^4}+8r^5\sin^2\phi e^{1+r^2\cos^2\phi-r^4}+5r-3re^{1-r^4} \right)$$ y tenemos $$\iint_S{\bf F}\cdot{d\bf S} {= \int_0^1\int_0^{2\pi} drd\phi \left(4r^5\cos^2\phi e^{1+r^2\sin^2\phi-r^4}+8r^5\sin^2\phi e^{1+r^2\cos^2\phi-r^4}+5r-3re^{1-r^4} \right) \\= 5\pi-\frac{3e\pi\sqrt{\pi}}{2}\text{erf}(1)+\int_0^1\int_0^{2\pi} d\phi dr \left(6r^2\cos^2\phi e^{1+r\sin^2\phi-r^2}\right) \\= 5\pi-\frac{3e\pi\sqrt{\pi}}{2}\text{erf}(1)+\int_0^1\int_0^{2\pi} d\phi dr \left(3r^2[1+\cos2\phi] e^{1+\frac{r}{2}-r^2}e^{-\frac{r}{2}\cos2\phi}\right) \\= 5\pi-\frac{3e\pi\sqrt{\pi}}{2}\text{erf}(1)+6\pi e\int_0^1 r^2 e^{\frac{r}{2}-r^2}\left[I_0\left(-\frac{r}{2}\right)-I_1\left(-\frac{r}{2}\right)\right]dr, }$$ donde $I_n(x)$ es la función de Bessel modificada de primer tipo.