Prueba de una desigualdad de límite

Question

Demuestra que si $a, b \in \mathbb R$ y $a \le x_n \le b$ para todo $n \in \mathbb N^+$ y $(x_n)$ converge, entonces $a \le \lim_{n \to \infty} x_n \le b.

¿Es válida la siguiente demostración? Para esta demostración utilicé el siguiente lema:

Si $(x_n)$ y $(y_n)$ convergen y $x_n \ge y_n$ para todo $n \in \mathbb N^+$, entonces $lim_{n \to \infty} x_n \ge lim_{n \to \infty} y_n.

Prueba
Sea $(x_a)$ la secuencia constante $(a, a, \ldots)$ y $(x_b)$ la secuencia constante $(b, b, \ldots).
Entonces, para todo $n \in \mathbb N^+$, $a \le x_n \le b \implies x_a \le x_n \le x_b$.
Observa que $x_a \to a$ y $x_b \to b.
Por lo tanto, a partir del lema anterior tenemos $lim_{n \to \infty} x_a \le lim_{n \to \infty} x_n \le lim_{n \to \infty} x_b \iff a \le lim_{n \to \infty} x_n \le b.

Answer 1

Otra demostración fácil (sin usar el teorema)

Dado que $(x_n)$ converge, existe $l\in \mathbb{R}$ tal que $\lim\limits_{n\to \infty}x_n=l$. Es decir, para cada $\epsilon>0$, existe $n_\epsilon\in \mathbb{N}$ tal que para cada $n>n_\epsilon$, $|x_n-l|<\epsilon \Rightarrow $ para cada $n>n_\epsilon$, $l-\epsilonn_\epsilon$, $l

Por lo tanto, $a\le \lim\limits_{n\to \infty}x_n \le b$.

Answer 2

Supongamos $\displaystyle \lim_{n\to \infty} x_n = L < a$:

Caso $1$: $x_n < L$ para algún $n_0 \in \mathbb{N}$: $x_{n_0} - a = x_{n_0} - L + L - a < 0+0=0$, contradicción con $x_n \geq a, \forall n$.

Caso $2$: $x_n \geq L, \forall n \in \mathbb{N}$: entonces elige $\epsilon = a-L > 0 \Rightarrow \exists n_{0}: x_{n_0} - L < a-L \Rightarrow x_{n_0} < a$, contradicción nuevamente.

Así que: $L \geq a$.