Relaciones que aseguran la continuidad

Question

Decimos que una función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ preserva la relación binaria $\sim \subseteq \mathbb{R}^2$ si $x \sim y$ implica $f(x) \sim f(y)$ para todo $x,y\in\mathbb{R}$.

Decimos que $\sim$ garantiza la continuidad si cada función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que preserva $\sim$ es continua.

Parte 1. ¿Existe alguna relación binaria que garantice la continuidad?

Creo que una buena relación de orden funcionaría para esto (edit: Tonto de mí, me di cuenta de que esto en realidad no es cierto. Pero una relación totalmente rígida existe en cualquier conjunto dado el Axioma de elección de todos modos). Pero me gustaría ver algo mejor (en la Parte 2), y si es posible algo que no requiera elección para la Parte 1.

Parte 2. ¿Existe alguna relación binaria que garantice la continuidad, y que sea preservada por al menos dos funciones diferentes?

Answer 1

Esta respuesta fue simplificada bastante desde la original.

Considera una relación definida de la siguiente manera: $x \sim y$ si $x > y$, o $y = x + 2^{m}$ para algún $m\in\mathbb{Z}$.

La idea es que la primera parte de la definición obligará a que la función sea estrictamente creciente, la segunda parte limita qué valores podrían tomar $f(x+2^m)$ en términos de $f(x)$. Esto nos brinda una secuencia única a lo largo de la cual $f(x+2^m)$ converge hacia $f(x)$ y la monotonía entonces obliga a que $f$ sea secuencialmente continua.

Primero, demostraremos que cualquier función que preserve esta relación es estrictamente creciente. Supongamos que $x > y$, si $f(x) \leq f(y)$ entonces debemos tener $f(y) = f(x) + 2^{m}$.

Escoge un $z$ tal que $x>z>y$, entonces tenemos $f(x) \sim f(z) \sim f(y)$. Hay incontables $z$ de esta manera, por lo que debe haber incontables $z$ que satisfacen $f(x) > f(z)$, ya que de otra manera tendríamos que $f(z) = f(x) + 2^{m}$ para algún $m(z)$. Esto implica que $m(z_1) = m(z_2)$ para incontables pares $z_1, z_2$. Dado que $f(z_1) \sim f(z_2)$ así como $f(z_1) = f(z_2)$, tenemos una contradicción, ya que $a\sim a$ nunca se cumple para nuestra relación.

Aplicamos este mismo argumento a todos los $z$ que satisfacen $f(x) > f(z)$, para establecer $f(z) > f(y)$ para algún $z$. Por lo tanto, hemos demostrado exitosamente que $f(x) > f(y)$.

Luego, demostraremos que cualquier función que preserve esta relación es continua. Dado que $x \sim x + 2^{m}$, tenemos $f(x) \sim f\left(x+2^{m}\right)$. Como $f$ es estrictamente creciente, esto solo puede ocurrir si $f\left(x+2^{m}\right) = f(x) + 2^{k(m)}$. Por lo tanto, $\lim_{m\to-\infty} f\left(x+2^{m}\right) = f(x)$, ya que $k(m)$ es estrictamente creciente. En consecuencia, la estricta monotonía de $f$ nos da continuidad por la derecha.

De manera similar, dado que $x - 2^{m}\sim x$, tenemos $f\left(x - 2^{m}\right) \sim f(x)$. Nuevamente, considerando que $f$ es estrictamente creciente, esto solo puede ocurrir si $f\left(x - 2^{m}\right) = f(x) - 2^{k(m)}$. Así, $\lim_{m\to-\infty} f\left(x - 2^{m}\right) = f(x)$, ya que una vez más $k(m)$ es estrictamente creciente. Esto conduce a la continuidad por la izquierda.

Por lo tanto, hemos demostrado que $f$ es continua. Además, $f(x) = 2^n x$ para cualquier $n$ preserva esta relación.