Confundido con la notación/a mitad hecho y necesito un poco de ayuda

Question

Se supone que debo resolver el siguiente problema:

Dados 1 y 2

1) $x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$

2) $w^{3}+z^{3}=5xy+12$

Debo resolver para $\frac{\partial x}{\partial w}$ en un $z$ constante en el punto (x,y,z,w) = (1,-2,1,1) y la respuesta es -6/5, pero parece que no puedo obtenerlo.

Tomando la derivada parcial con respecto a x se obtiene el siguiente resultado:

$3w^{2}\frac{\partial x}{\partial w} + 3z^{2}\frac{\partial x}{\partial z} = 5x\frac{\partial y}{\partial x} + y$

Después de reorganizar la segunda ecuación, se obtiene lo siguiente:

$\frac{\partial x}{\partial w} =\frac{( 5x\frac{\partial y}{\partial x}+y - +3z^{2}\frac{\partial x}{\partial z})}{3w^{2}} $

y al derivar la segunda obtengo:

$ 2x \frac{\partial x}{\partial w} + 2y \frac{\partial y}{\partial w} + 2z \frac{\partial z}{\partial w} $

Answer 1

La derivada parcial $\frac{\partial }{\partial w}$ significa derivar con respecto a w, es decir $\frac{\partial x}{\partial w}$ es la derivada de $x$ como función de $w$ con respecto a $w$ ($x$ es una función multivariable).

Derivando ambos lados de $(2)$ con respecto a $w$ obtenemos:

$$\frac{\partial (w^3 +z^3) }{\partial w}=\frac{\partial (5xy +12)}{\partial w}$$

Por las reglas de la cadena y del producto:

$$3w^2 +3x^2 \frac{\partial z}{\partial w}=5\frac{\partial x}{\partial w}y + 5x\frac{\partial y}{\partial w}$$

Por lo tanto, resolviendo para $\frac{\partial x}{\partial w}$:

$$\frac{\partial x}{\partial w}=\frac{3w^2 +3x^2\frac{\partial z}{\partial w}-5x\frac{\partial y}{\partial w}}{5y}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que las derivadas parciales en un entorno de $d$ dimensiones solo están definidas cuando se han seleccionado $d$ variables independientes.

Dos ecuaciones en cuatro variables definen una superficie bidimensional $S\subset{\mathbb R}^4$. En el problema en cuestión, las variables $z$ y $w$ se seleccionan como variables independientes, y las dos ecuaciones definen $x$ y $y$ de forma implícita como funciones de estas, de la siguiente manera: $$x^2(z,w)+y^2(z,w)=6-z^2, \quad 5x(z,w)y(z,w)=z^3+w^3-12\ .$$ Tomando ${\partial\over\partial w}$ en ambas ecuaciones obtenemos $$2x(z,w)x_w+2y(z,w)y_w=0,\qquad 5y(z,w)x_w+5x(z,w)y_w=3w^2\ .$$ Ahora sustituimos el punto $(1,-2,1,1)\in S$ y obtenemos $$2 x_w-4y_w=0,\qquad -10 x_w+5y_w=3\ ,$$ de lo cual deducimos fácilmente $${\partial x\over\partial w}(1,1)=-{2\over5}\ .$$