¿Existe una fase entre los máximos locales de una onda senoidal y una onda senoidal con una tendencia lineal?

Question

Estoy tratando de entender mejor esta situación simple: Si tengo dos funciones

$$ \begin{aligned} y_1 &= \sin(\omega t) \\ y_2 &= \sin(\omega t) + at \end{aligned} $$

¿Alcanzarán ambas funciones máximos locales al mismo tiempo? Por un lado, ambas oscilan a la misma frecuencia, sin embargo, en el mismo $\Delta t$ la función $y_2$ también está cambiando debido al segundo término (por lo que la función completa ya no es un seno). Numéricamente parece que hay un retraso en el tiempo, sin embargo, quiero intentar cuantificarlo analíticamente y no estoy seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

Las derivadas son $y_1'(t) = \omega \cdot \cos( \omega t)$ y $y_2'(t) = \omega \cos( \omega t ) + a$. Por lo tanto, aparte del caso de $\omega = 0$, esto implica que

$$ y_1'(t) = 0 \Rightarrow t = { {1} \over {\omega} } \left( {\pi \over 2} + k\pi \right), \,\,\, k \in \mathbb{Z} $$

$$ y_2'(t) = 0 \Rightarrow \cos(\omega t) = { {-a} \over {\omega} } $$

$y_1$ tiene máximos y mínimos locales en los lugares habituales. Sin embargo, para $y_2'(t) = 0$, para que haya una solución se requiere que $-1 \leq -a / \omega \leq +1.$ Si esta desigualdad no se cumple, entonces $y_2(t)$ no tiene máximos ni mínimos locales. Si se cumple, entonces puedes calcular dónde estarán comenzando con:

$$ \cos(\omega t) = { {-a} \over {\omega} } \Rightarrow t = {1 \over \omega} \cos^{-1}({-a \over \omega}) $$

Aquí se complica un poco con $\cos^{-1}$, pero puedes obtener la información que deseas. Aún necesitas evaluar los máximos y mínimos locales para determinar si son máximos, mínimos o ninguno de los dos.