MAGMA: coaccionando grupo de matrices a grupo de permutaciones

Question

Estoy empezando a usar el sistema de álgebra computacional MAGMA y no puedo entender cómo indicarle a MAGMA que considere $GL(3,2)$ como un grupo de permutación, usando la acción natural en $(\mathbb F_2)^3$.

Algo de antecedentes: Me gustaría calcular dobles cosets dentro del grupo $GL_3(2)$ de matrices 3x3 sobre el campo finito con 2 elementos.

Puedo intentar lo siguiente:

G := GL(3,2);
S := SylowSubgroup(G,2);
DoubleCosetRepresentatives(G,S,S);

lo cual me arroja el error

Error en tiempo de ejecución en 'DoubleCosetRepresentatives': Tipos de argumentos incorrectos
Tipos de argumentos dados: GrpMat[FldFin], GrpMat[FldFin], GrpMat[FldFin]

Está bien; parece que los grupos de matrices no son automáticamente grupos de permutación. Sin embargo, el grupo $PGL(3,2)$ es naturalmente isomorfo a $GL(3,2)$, y ese sí está construido como un grupo de permutación (lo cual tiene sentido ya que en general $PGL(n,p)$ no será un grupo de matrices). Entonces una solución simple sería simplemente calcular usando $PGL(3,2)$, pero siento que debería haber una manera más general de convertir grupos de matrices sobre campos finitos en grupos de permutación...

Answer 1

En este caso, usaría $\mathrm{PGL}(3,2)$. De lo contrario, no creo que MAGMA tenga una forma incorporada de hacer esto.

Sin embargo, puedes hacer esto manualmente. Yo lo haría tomando el conjunto $V$ de vectores en $\mathbb{F}_{q}^{n}$ y definiendo un subgrupo de $\mathrm{Sym}(V)$ usando los generadores de tu grupo de matrices $G$.

Algo así como

 V := {v : v in VectorSpace(FiniteField(2),3)};
 PmGp := sub;

Puede que quieras establecer un isomorfismo entre tus grupos, utilizando, por ejemplo,

_, phi := IsIsomorphic(PmGp,G);

para que puedas mapear tus representantes de coclases dobles de regreso a $G$ una vez que los hayas encontrado.