¿La función exponencial es continua para números complejos?

Question

Hola, esta podría ser una pregunta tonta, así que aquí va:

¿Es $e^{(x)}$ continua para $x\in \mathbb{C}$?

Específicamente, esta pregunta surgió al resolver la ecuación diferencial en forma de

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}$ con la solución $y=cx$ y me preguntaba si era posible que $c=0$ en el contexto de números complejos.

Gracias y sé amable, soy estudiante de ingeniería.

Answer 1

Sí, es continuo. Es bien conocido que $f(z)=e^z$ es una función holomorfa, lo que significa que es complejamente diferenciable.

Answer 2

Si sabes que si $x,y$ son reales y $e^{x+iy} = e^{\sqrt{x^2+y^2}}(\cos y + i\sin y)$ y que las funciones involucradas en poner esa última expresión juntas, puedes deducir que esa función de $x+iy$ es continua (siempre y cuando sepas varios hechos básicos sobre continuidad).

Si sabes que $\displaystyle e^z = \sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}$, y que, como muestra una prueba de razón, esa serie converge, entonces puedes deducir que $z\mapsto e^z$ es continua si conoces algunos teoremas básicos sobre series de potencias convergentes.

Si sabes que $z\mapsto e^z$ es diferenciable y que las funciones diferenciables son continuas, eso también lo hace.