¿Cómo probar $\left(\frac{e^n-1}{n}\right)^{2n+1} \leq \frac{(e-1)(e^2-1)...(e^{2n}-1)}{(2n)!}$?

Question

Estoy tratando de demostrar la siguiente desigualdad:

$$\left(\frac{e^n-1}{n}\right)^{2n+1} \leq \frac{(e-1)(e^2-1)...(e^{2n}-1)}{(2n)!}$$

Para el caso base $n=1$

$$0 \leq e-1$$

Supongamos que la desigualdad se cumple para $n$, entonces tengo que demostrar que:

$$\left(\frac{e^{n+1}-1}{n+1}\right)^{2(n+1)+1} \leq \frac{(e-1)(e^2-1)...(e^{2(n+1)}-1)}{(2(n+1))!}$$

Comencemos con el RHS:

$$\frac{(e-1)(e^2-1)...(e^{2(n+1)}-1)}{(2(n+1))!}=\frac{(e-1)(e^2-1)...(e^{2n}-1)}{(2n)!} \frac{(e^{2n+1}-1)(e^{2n+2}-1)}{(2n+1)(2n+2)} $$

Ahora el LHS:

$$\left(\frac{e^{n+1}-1}{n+1}\right)^{2(n+1)+1}=\left(\frac{e^{n+1}-1}{n+1}\right)^{2n+1}\left(\frac{e^{n+1}-1}{n+1}\right)^{2}\left(\frac{e^{n}e-1}{n+1}\right)^{2n+1}\left(\frac{e^{n}e-1}{n+1}\right)^{2}$$

Bueno, hasta aquí es hasta donde generalmente llegué.

¿Hay una buena manera de reescribir el LHS, para resolver esto? ¿O este enfoque es incorrecto en general?

Al observar esta desigualdad también traté de usar la convexidad de $exp$ como enfoque, pero esto no llevó a ninguna parte.

Answer 1

Por convexidad, asumiendo $\frac{e^x-1}x=1$ en $x=0$, tenemos

$$\frac1{2n+1}\sum_{k=0}^{2n}\log\left(\frac{e^k-1}k\right)\ge \log\left(\frac{e^{\frac1{2n+1}\sum_{k=0}^{2n}k}-1}{\frac1{2n+1}\sum_{k=0}^{2n}k}\right)=\log\left(\frac{e^n-1}n\right)$$

lo que implica

$$\prod_{k=1}^{2n}\frac{e^k-1}k \ge \left(\frac{e^n-1}n\right)^{2n+1}$$

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Para la convexidad necesitamos mostrar que

$$f(x)=\log\left(\frac{e^x-1}x\right) \implies f''(x)=\frac{e^{2x}+1-e^x(x^2+2)}{x^2(e^x-1)^2}\ge 0$$

lo cual no es difícil usando derivadas para estudiar el signo del numerador.