Comprendiendo la super aditividad sigma

Question

Una medida aditiva $\mu$ en $R$ tiene la propiedad de que para conjuntos $A_i \in R$ mutuamente disjuntos con $\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_i\right)\in R$: $$ \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_i\right) \geq \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)$$

Refiriéndose a esta prueba: http://www.mathe.wiwi.uni-sb.de/skripte/mit/skriptmi_Kap1-2-Anhang.pdf (p.23)

¿Qué está mal en invertir el argumento de esta manera?

$$ \mu\left(\bigcup_{i=1}^m A_i\right) = \sum_{i=1}^m \mu(A_i) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i) \Longrightarrow_\infty \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_i\right)\leq \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)$$

El primer $=$ proviene de la aditividad, el $\leq$ de $\mu \geq0$ y la implicación del límite.

Supongo que se trata del límite pero no sé por qué...

Answer 1

Contraejemplo:

Prescribe $\mu:\wp\left(\mathbb{N}\right)\rightarrow\left[0,\infty\right]$ by $A\mapsto0$ if $A$ is finite and $A\mapsto\infty$ otherwise.

Then $\mu$ is aditiva with: $$\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\left\{ n\right\} \right)=\mu\left(\mathbb{N}\right)=\infty>0=\sum_{n=1}^{\infty}\mu\left(\left\{ n\right\} \right)$$

Answer 2

y la implicación de tomar el límite.

Esto asume que $$\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)$$ es el límite cuando $m\to\infty$ de $$\mu\left(\bigcup_{n=1}^m A_n\right),$$ lo cual es un poco el punto entero.

Answer 3

El argumento válido utiliza un límite de números reales, no de conjuntos. El límite de la medida se comporta como esperarías, ya que la medida es un número real, y a partir del análisis real ordinario tenemos la definición de una suma infinita:

$$\sum_{i=0}^\infty a_i = \lim_{m\rightarrow \infty}\sum_{i=0}^m a_i;$$

$$\sum_{i=0}^\infty \mu(A_i) = \lim_{m\rightarrow \infty}\sum_{i=0}^m \mu(A_i).$$

Pero con un "límite" de conjuntos necesitas ser más cuidadoso.