Hay una matriz Toeplitz de la siguiente forma:
\begin{equation} M = \begin{pmatrix} 1 & e^{i\phi} & e^{2i\phi} & \ldots & e^{(N-1)i\phi} \\ e^{i\phi} & 1 & e^{i\phi} & \ldots & e^{(N-2)i\phi} \\ e^{2i\phi} & e^{i\phi} & 1 & \ldots & e^{(N-3)i\phi} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e^{(N-1)i\phi} & e^{(N-2)i\phi} & e^{(N-3)i\phi} & \ldots & 1 \end{pmatrix}. \end{equation}
donde $\phi$ es solo algún número real. Esta es una matriz Toeplitz compleja y simétrica. No hay un algoritmo general para diagonalizarla analíticamente, y no estoy absolutamente seguro de que sea posible. En este momento estoy en el proceso de obtener los eigenvalores (o al menos una forma simple de la ecuación de los eigenvalores).
Sin embargo, lo que sé es la respuesta en el caso de $\phi=0$, entonces es solo una matriz de todos los $1$'s, que es un tipo circular y puede ser diagonalizada por la matriz DFT. Entonces, me pregunto, tal vez haya algún tipo de transformación simple entre los casos de $\phi=0$ y $\phi \ne 0$ para que pueda encontrar los eigenvectores sin encontrar explícitamente el Núcleo para cada $M-\lambda_jI$?
Antecedentes
La matriz $M$ describe un cierto sistema cuántico-mecánico periódico. Físicamente, es algo similar a lo que se llama un cristal fotónico, donde cada subsistema interactúa con otros mediante ondas planas (de ahí la amplitud constante de todas las entradas y un múltiplo adquirido de $\phi$ en fase).
Actualización 23.03.2021 Básicamente, pude obtener una forma explícita de la ecuación de los eigenvalores: \begin{equation} \det \left(M - \lambda I \right) = \dfrac{\left( \beta_+^N - \beta_-^N \right) (1-\lambda) + (\beta_-^N \beta_+ - \beta_+^N \beta_-)}{\beta_+-\beta_-} = 0, \\ \beta_{\pm} = \frac{1}{2} \left( 1-\lambda - e^{i2\phi}(1+\lambda) \pm \sqrt{ (1-\lambda - e^{i2\phi} (1+\lambda))^2 - 4 e^{i2\phi} \lambda^2 } \right), \end{equation} que es... bastante complicada. Creo que esto no se puede resolver explícitamente, y probablemente los eigenvectores no se pueden expresar exactamente. Sin embargo, también hay una forma de resolverlo usando una racionalidad física, tal vez compartiré algunos materiales al respecto más tarde.
