Doble límite de integrales de Riemann

Question

Sea $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb{N}}$ una familia de funciones infinitamente diferenciables, definidas en toda la recta real, que se anulan fuera de $[a,b]$. Sea $F(x)$ una función definida en $\mathbb{R}$ con la propiedad de que $F$ y todas sus derivadas son $O(|x|^{-N})$ cuando $|x|\to\infty$, para todo $N$.

Por hipótesis, el siguiente límite:

$$\lim_{n\to\infty}\int_{x=a}^b f_n(x)F(x)\mathrm{d}x$$

existe para cualquier $F$ del tipo especificado anteriormente.

¿Es verdadero o falso que $\lim_{|\xi|\to\infty}\left(\lim_{n\to\infty}\int_{x=a}^b f_n(x)F(x-\xi)\mathrm{d}x\right)=0$ ?

Para mí intuitivamente es verdadero, porque $F(x-\xi)$ 'se aleja' hacia el infinito cuando $|\xi|\to\infty$, dejando dentro de $[a,b]$ una contribución cada vez más pequeña, pero no puedo formalizar este argumento.

Answer 1

Utilizamos el teorema a continuación.

Teorema. Sea $(T_n)_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathcal{D}'(\mathbb{R})$ una secuencia de distribuciones en $\mathbb{R}$ tal que se cumplen las siguientes condiciones:

1. Existe un intervalo compacto $K \subset \mathbb{R}$ tal que cada $T_n$ está soportado en $K$.
2. $(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge a un funcional lineal $T$ en $C^{\infty}_c(\mathbb{R})$ bajo la topología débil-*, es decir, $$ \lim_{n\to\infty} \langle T_n, \varphi \rangle = \langle T, \varphi \rangle $$ se cumple para cualquier $\varphi \in C^{\infty}_c(\mathbb{R})$.

Entonces $T$ es también una distribución en $\mathbb{R}$ que está soportada en $K$.

Prueba. Podemos considerar cada $T_n$ como un funcional lineal en $C^{\infty}(K)$ y lo hacemos así. Dado que $K$ es compacto, $C^{\infty}(K)$ es un espacio de Fréchet con respecto a la topología inducida por las seminormas $\varphi \mapsto \sup_{x\in K}|\varphi^{(m)}(x)|$, $m\geq 0$. Luego, una versión del principio de acotamiento uniforme ([1], [2]) muestra que la familia $(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es equicontinua, por lo tanto, el límite punto a punto $T$ también es continuo. $\square$

Ahora sea $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la secuencia de funciones suaves como en la hipótesis del OP, y sea $T$ el funcional lineal en $C^{\infty}_c(\mathbb{R})$ definido por la relación

$$ \langle T, \varphi \rangle = \lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \varphi(x) \, \mathrm{d}x $$

para todo $\varphi \in C^{\infty}_c(\mathbb{R})$. Entonces el teorema dice que $T$ es una distribución soportada en el intervalo compacto $[a, b]$. Dado que cada distribución con soporte compacto tiene orden finito, esto implica que existe un entero $k \geq 0$ y una constante finita $C \geq 0$ que satisfacen

$$ |\langle T, \varphi \rangle| \leq C \sup_{x \in K} |\varphi^{(k)}(x)| $$

para cualquier $\varphi \in C^{\infty}(\mathbb{R})$. En consecuencia, para cualquier $F$ que cumpla la condición del OP,

\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} f_n(x)F(x-\xi) \, \mathrm{d}x &= \langle T, F(\cdot - \xi) \rangle = \mathcal{O}\left( \sup_{x \in K} |F^{(k)}(x - \xi)| \right) \end{align*}

Ahora es fácil verificar que esto tiende a cero a medida que $|\xi| \to \infty$.

Answer 2

Puedes empezar demostrando que $$\lim_{n\to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x)\mathrm d x$$ es finito. Para ello, considera $$h(x) = \begin{cases} \exp\left({-\frac{1}{\left(e^x - 1\right)^2}}\right) & \text{si $x > 0$}\\ 0 & \text{si $x \le 0$} \end{cases}$$

Esta función $h$ es infinitamente diferenciable tal que $$\lim_{x\to \infty} e^x \left(1-h(x)\right) = 0$$

Sea $$F(x) = \begin{cases} 1-h(a-x) & \text{si $a < x$}\\ 1 & \text{si $a \le x \le b$}\\ 1-h(b-x) & \text{si $b < x$} \end{cases}$$

Es fácil demostrar que $F$ satisface las condiciones mencionadas en el mensaje original, por lo que tienes que el límite $$\lim_{n\to \infty} \int_a^bf_n(x)F(x)\mathrm d x$$ existe.