Demostración de la compacidad de un conjunto de energías atrapadas

Question

Tengo una pregunta muy simple, pero requiere un poco de contexto. Aquí está:

Sea $p(x,\xi)=|\xi|_g+V(x),$ donde $(x,\xi)\in \mathbb{R}^{2n},$ $V\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n),$ y $g$ es una métrica Riemanniana en $\mathbb{R}^{n}.$ Supongamos además que $\text{supp} V,\text{supp} (g_{ij}-\delta_{ij})\subset B(0,r_0)$ para algún $r_0>0.$ Consideremos el conjunto $K=K_1\cap p^{-1}(I),$ donde $K_1\subseteq \mathbb{R}^{2n}$ es cerrado y $I\subseteq\mathbb{R}\setminus\{0\}$ es compacto. Específicamente, $K_1=\Gamma^+\cap\Gamma^-,$ donde $$\Gamma^{\pm}=\{(x,\xi): X(t)\not\rightarrow\infty\text{ al acercarse a }\mp\infty\},$$ con $X$ siendo el componente $X$ del flujo hamiltoniano generado por $p$ con condición inicial $(x,\xi)$.

Supongamos además que $$K\subset \{|x|

Todo lo que quiero concluir es que $K$ es compacto como subconjunto de $\mathbb{R}^{2n}$. Claramente, es cerrado. Pero no veo cómo concluir que está acotado. Evidentemente, se sigue de $K\subset \{|x| pero no lo veo. Eso me dice que está acotado en $x$, pero ¿por qué está acotado en $\xi$?

Answer 1

$p$ es adecuada porque $V$ tiene soporte compacto, entonces $p^{-1}(I)$ es compacto. $K \subseteq p^{-1}(I)$, por lo tanto $K$ está acotado.

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EDICIÓN Lo anterior es incorrecto. Así debería ser el argumento:

Si tenemos una secuencia de puntos $(x_n, \xi_n)$ tal que $\lvert \xi_n \rvert \to \infty$ cuando $n \to \infty$, entonces $\lvert \xi_n \rvert_g \to \infty$ (si entiendo correctamente el significado de $\lvert \xi_n \rvert_g$: ¿estamos viendo $\xi_n$ como un elemento de $T_{x_n}(\mathbb{R}^n)$? Además: oops, el $n$ en $x_n$ no es el mismo que el $n$ en $\mathbb{R}^n$. ¡Esperemos que no sea demasiado confuso!)

Para ver esto, sea $S$ la esfera unitaria en $\mathbb{R}^n$. La aplicación $$Q := (x, \xi) \mapsto \lvert \xi \rvert_g - \lvert \xi \rvert : \mathbb{R}^n \times S \to \mathbb{R}$$ es continua y tiene soporte compacto, ya que $$\operatorname{supp}(Q) \subseteq \left(\bigcup_{i,j} \operatorname{supp}(g_{i,j}-\delta_{i,j})\right) \times S.$$ Así que sea $M \in \mathbb{R}$ el valor mínimo alcanzado por $Q$. Dado que $\lvert \xi \rvert = 1$ para todo $\xi \in S$ y $\lvert \xi \rvert_g > 0$ para todo $\xi \in S$, tenemos $M > -1$.

Dado que nuestra secuencia original $(x_n, \xi_n)$ tenía $\lim_{n \to \infty} \lvert \xi_n \rvert = \infty$, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\xi_n \neq 0$ para todo $n$. Sea $\xi'_n = \xi_n/\lvert \xi_n \rvert$ de modo que $\xi_n = \lvert \xi_n \rvert \xi'_n$ y $\xi'_n \in S$. Entonces

$$\lvert \xi_n \rvert_g - \lvert \xi_n \rvert = \Big\lvert \lvert \xi_n \rvert \xi'_n \Big\rvert_g - \Big\lvert \lvert \xi_n \rvert \xi'_n \Big\rvert = \lvert \xi_n \rvert \Big\lvert \xi'_n \Big\rvert_g - \lvert \xi_n \rvert \Big\lvert \xi'_n \Big\rvert\\ = \lvert \xi_n \rvert \Big( \lvert \xi'_n \rvert_g - \lvert \xi'_n \rvert \Big) = \lvert \xi_n \rvert Q(\xi'_n) \geq M \lvert \xi_n \rvert,$$

entonces $\lvert \xi_n \rvert_g \geq \lvert \xi_n \rvert + M \lvert \xi_n \rvert = (1+M) \lvert \xi_n \rvert$. Dado que $1+M$ es una constante positiva y $\lvert \xi_n \rvert \to \infty$ cuando $n \to \infty$, concluimos que $\lvert \xi_n \rvert_g \to \infty$ cuando $n \to \infty$.

Ahora, supongamos por contradicción que $K$ está no acotado. Tomemos una secuencia no acotada de puntos $(x_n, \xi_n) \in K$. Dado que $K \subseteq \{x : \lvert x \rvert < r_0\}$, debemos tener $\lvert \xi_n \rvert \to \infty$ cuando $n \to \infty$. Pero entonces $\lvert \xi_n \rvert_g \to \infty$ cuando $n \to \infty$, así que $p(x_n, \xi_n) \to \infty$ cuando $n \to \infty$ (esto usa el hecho de que $V$ está acotado). Pero $I$ está acotado y $K \subseteq p^{-1}(I)$, entonces la secuencia $p(x_n, \xi_n)$ debe ser acotada, ¡contradiciendo la afirmación anterior!