¿Determina un grupo indicador $G$ el fibrado principal $G$?

Question

Estoy tratando de entender los fundamentos matemáticos de las teorías de calibre en el lenguaje de los haces principales $G$ y los haces vectoriales asociados. No hace mucho, había asumido que la elección física de un grupo de simetría $G$ (grupo de Lie compacto) determinaba inmediata y únicamente un grupo $\mathcal{G}$ de transformaciones de calibre de dimensión infinita. Luego, pensé que $\mathcal{G}$ simplemente proporcionaba las funciones de transición de un haz principal de $G$. Sé que en otros contextos un haz puede recuperarse de forma única a partir de sus funciones de transición. Por lo tanto, pensé que la elección físicamente motivada de $G$, determina inmediatamente el haz principal.

Ahora entiendo que las transformaciones de calibre son diferentes de las funciones de transición. Hay una discusión muy interesante (Grupo de calibre global vs. local en sentido matemático - ejemplos de física?)

Por lo tanto, ahora me parece que elegir las funciones de transición del haz principal tomando valores en $G$ es en realidad información adicional que debe ser proporcionada además de $G$. En lugar de ser determinado de forma única por $G$ y las transformaciones de calibre físicas.

¿Es esto correcto? Si es así, ¿cómo deciden los físicos qué haz principal $G$ necesitan?

Answer 1

Tal vez ayuda pensar en el ejemplo de la Relatividad General: saber las simetrías locales del espacio-tiempo no fija su métrica (o topología). Solo fija que localmente 'parece' $\mathbb R^{1,3}$. En ese caso sabemos cómo se fija esta información adicional: mediante condiciones iniciales, condiciones de borde y dinámica. De manera similar para las teorías/haces de calibre no abeliano encontradas en el modelo estándar, solo se fija que localmente parece $\mathcal M \times G$. Y de manera similar, su 'geometría' es en principio libre y debe obtenerse a través de la triada de condiciones iniciales, condiciones de borde y dinámica. Es exactamente por eso que los campos de calibre son dinámicos, con la geometría siendo capturada por la fuerza del campo $F = dA$. Puedes pensar en enviarte un paquete de luz como enviándote una ondulación a través del haz de línea $U(1)$.

Answer 2

En la Relatividad General, las soluciones clásicas son espaciotiempos $(M,g)$ que son variedades lorentzianas. Te insto a observar que la topología de la variedad subyacente es parte de la solución clásica. ¡Así que lo desconocido no es solo el tensor métrico!

En la teoría de gauge las cosas son bastante similares. Dado un grupo de Lie compacto y semisimple $G$ podemos construir varios fibrados principales $G$ sobre la misma variedad base $M$. Uno de ellos es el fibrado trivial $\pi_1:M\times G\to M$, donde $\pi_1$ es la proyección sobre el primer factor, y donde la acción derecha de $G$ es $$(x,g)\cdot h=(x,gh)\tag{1}.$$

Pero obviamente esto no es todo. Tenemos fibrados no triviales que no tienen esta forma de producto simple con esta acción simple de $G$ (1). Son topológicamente diferentes al fibrado trivial.

Ahora, el campo de gauge es de hecho una conexión en un fibrado principal $G$, ¡y cuál es el fibrado específico de $G$ es parte de la especificación de la solución en la medida en que la topología del espaciotiempo es parte de la especificación de la solución clásica de la RG!

Resulta que cada fibrado principal $G$ es, por definición, localmente isomorfo al fibrado trivial. Esta correspondencia se especifica eligiendo una sección local $\sigma : U\subset M\to \pi^{-1}(U)$ y definiendo $h:U\times M\to \pi^{-1}(U)$ como $h(x,g)=\sigma(x)\cdot g$. En un conjunto abierto localmente trivial de este tipo la conexión está codificada en una 1-forma valuada en el álgebra de Lie $A : U\to T^\ast U\otimes \mathfrak{g}$. Este es el objeto al que estamos acostumbrados en la teoría de Yang-Mills.

¡Pero cuidado! Cuando el fibrado principal no es el trivial entonces $A$ no está definido globalmente en todo el espaciotiempo. En ese caso de topología no trivial no puedes representar la conexión por un solo $A$. Más bien debes cubrir la variedad base subyacente con conjuntos abiertos $\{U_i\}$ sobre los cuales el fibrado se puede trivializar. En cada uno de los $U_i$ entonces tienes un $A_i$ y para que den lugar a una conexión bien definida en el fibrado principal deben cumplir ciertas condiciones de compatibilidad en las intersecciones.

Ahora compara de nuevo con la RG. La métrica $g$ en cada dominio de coordenadas está especificada por los componentes $g_{\mu\nu}$. A menudo un solo carta no cubrirá toda la variedad y tendrás varias en las que tienes las cantidades $g_{\mu\nu}$, que deben cumplir condiciones compatibilidad en las intersecciones para que den lugar a un objeto intrínseco bien definido $g$.

Así que en resumen, la respuesta a la pregunta "¿Determina un grupo de gauge G el fibrado principal G?" es que no, hay varios fibrados principales topológicamente inequivalentes sobre la misma variedad base y estos datos son parte de la especificación de la configuracion del campo de gauge en la teoría de gauge.