Encuentra el Polinomio de Taylor $T_{3}$ para la Función $f(x) = \frac{5x}{2+4x}$

Question

Encuentra el Polinomio de Taylor $T_{3}$ para la Función $f(x) = \frac{5x}{2+4x}$

Así que tengo este problema y estoy luchando, pero a continuación está lo que estoy intentando hacer:

Plan: Intentar traducir la serie a la forma $\frac{1}{1-x}$ y convertirla a la serie $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ y luego sustituir $x^3$ para obtener el polinomio de Taylor.

Así que aquí está mi intento: $$f(x) = \frac{5x}{2+4x} = \frac{5x}{2} \frac{1}{1-(-2x)} = \frac{5x}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n 2x^n$$ Entonces, sigo listando hasta obtener algo con $x^3$: $$5x -\frac{10x^3}{2}$$

Sin embargo, no creo que esa respuesta sea correcta, entonces ¿qué hice mal/qué puedo hacer para mejorar?

Answer 1

$$f(x)=\frac{5x}{2+4x} = \frac{5x}{2} \frac{1}{1-(-2x)} = \frac{5x}{2} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (2x)^n$$

$$=\frac{5x}{2}(1-2x+4x^2...)=\frac{5x}{2}-5x^2+10x^3...$$

Answer 2

Estás olvidando el término para $n=1$ y deberías escribir $2^nx^n$, no $2x^n$: $$ \frac{5x}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-2x)^n=\frac{5x}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n2^nx^n $$

También puedes calcular fácilmente las derivadas: $$ f(x)=\frac{5}{4}\frac{2x}{1+2x}=\frac{5}{4}\left(1-\frac{1}{1+2x}\right) $$ y $f(0)=0$. Por lo tanto \begin{align} f'(x)&=\frac{5}{2}(1+2x)^{-2} & f'(0)&=\frac{5}{2} \\[2px] f''(x)&=-10(1+2x)^{-3} & f''(0)&=-10 \\[6px] f'''(x)&=60(1+2x)^{-4} & f'''(0)&=60 \end{align} Así, el polinomio de Taylor de grado $3$ es $$ f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+\frac{f''(x)}{6}x^3=\frac{5}{2}x-5x^2+10x^3 $$