¿Contiene el interior del triángulo de Pascal tres enteros consecutivos?

Question

Considera el interior del triángulo de Pascal: el triángulo sin números de la forma $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\binom{n}{n-1},\binom{n}{n}$.

A006987 (que se describe aquí) es una lista de los $10000$ números más pequeños en el interior del triángulo de Pascal, sin repeticiones.

Contiene $15$ instancias de dos enteros consecutivos. Contiene solo una instancia de enteros separados por $2$. Pero no contiene tres enteros consecutivos.

Entonces me pregunto:

¿Contiene el triángulo de Pascal tres enteros consecutivos?

Al mirar la fórmula para los coeficientes binomiales, $\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$, no veo motivo por el cual no podría haber tres enteros consecutivos, pero tampoco puedo encontrar ejemplos.

Esta pregunta parece ser una pregunta abierta, pero no puedo encontrar referencias.

EDICIÓN: En los comentarios, @Sil señala que se postula que cierta lista es una lista completa de coeficientes binomiales que difieren por $1$, lo cual, de ser cierto, implicaría que la respuesta a la pregunta es no. Pero independientemente del resultado de esa conjetura, quizás haya una forma de demostrar que no puede haber tres coeficientes binomiales consecutivos. ¿Quizás mediante prueba por contradicción, o un argumento combinatorio?

EDICIÓN 2: Publicado en MO.

Answer 1

No creo que esto responda la pregunta aún pero puede ayudar.

Considere la identidad bien conocida de que cualquier entrada en el triángulo de Pascal es la suma de las dos entradas sobre ella: $$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$$.

Sean $a, b, c, d$ las entradas sobre las entradas de enteros consecutivos $x, x+1, x+2$.

Esto produce el sistema

$x=a+b$

$x=b+c-1$

$x=c+d-2$

Lo cual produce

$c=a+1$ y $d=b+1$

Por lo tanto, las entradas sobre los enteros consecutivos $x, x+1, x+2$ deben ser de la forma $a, b, a+1, b+1$

Esto es equivalente a decir (ya que $a=\binom{n}{k}$ para algún $n, r$) que existen $n$ y $r$ para los cuales $$\binom{n}{r}+1=\binom{n}{r+2}$$