Pregunta sobre el sigma álgebra generado por una secuencia contable de conjuntos

Question

Tengo una pregunta sobre el siguiente problema del libro "Un curso de teoría de la probabilidad" (capítulo 2, problema 9).

Answer 1

¡Estabas en el camino correcto!

Para $k\in\mathbb N$ sea $\Sigma_k = \{B \subseteq S \mid A_k \subseteq B \lor B \cap A_k = \emptyset \}$. Es fácil ver que cada $\Sigma_k$ contiene todos los $A_n$ para $n\in \mathbb N$ y es una $\sigma$-álgebra en $S$. Por lo tanto cada $\Sigma_k$ debe ser un superconjunto de $\Sigma$. Pero $\Sigma_k$ por construcción no contiene ningún subconjunto propio no vacío de $A_k$ lo cual implica que $\Sigma$ tampoco contiene tales conjuntos (porque $\Sigma$ solo contiene conjuntos que están en todos los $\Sigma_k$).

Ahora sea $A$ un elemento arbitrario de $\Sigma$. Ya sabemos por arriba que $A \subsetneq A_k$ para algún $k$ no es posible. Supongamos $A \cap A_k\neq \emptyset$ y $A_k \nsubseteq A$ para algún $k$. Entonces, como tanto $A$ como $A_k$ son elementos de $\Sigma$, $A \cap A_k$ debe ser un elemento de $\Sigma$. Pero $A \cap A_k$ es nuevamente un subconjunto propio no vacío de $A_k$ lo cual es una contradicción.

Hemos demostrado que para todo $n\in\mathbb N$ o bien $A_n \subseteq A$ o $A_n \cap A=\emptyset$. Como $S$ es la unión disjunta de todos los $A_n$, $A$ debe por lo tanto ser la unión disjunta de todos los $A_n$ que son subconjuntos de $A$.

Adición: Nota que en ningún momento usamos que $\mathbb{N}$ es contable. De hecho, si $\cal A$ es una partición arbitraria de $S$, entonces cada $A$ en la $\sigma$-álgebra $\Sigma_{\cal A}$ generada por $\cal A$ es una unión de elementos de $\cal A.

Pero, ¿qué hay del otro lado? ¿Es cada unión de elementos de $\cal A$ un elemento de $\Sigma_{\cal A}$? Si ${\cal A}$ es contable (incluyendo finito) esto debe ser obviamente cierto. Pero para ${\cal A}$ no contable esto no tiene que ser necesariamente el caso:

Sea $S=\mathbb R$ y ${\cal A}=\{x+\mathbb{N} \mid x \in [0,1) \}$ (donde $[0,1)$ es el intervalo medio abierto y $\mathbb N$ contiene $0$). $\cal A$ es una partición de $S$ que consiste de incontables muchos conjuntos contables. La colección $\Sigma_\omega$ de todos los subconjuntos contables y cocontables de $\mathbb R$ es un superconjunto de $\cal A$ y una $\sigma$-álgebra, entonces $\Sigma_{\cal A}$ claramente no puede contener ningún conjunto que no esté en $\Sigma_\omega$. Pero $\bigcup_{x \in [0,\frac12)} (x+\mathbb{N})$ es la unión de elementos de $\cal A$ y ni es contable ni cocontable.