Para cualquier conjunto dado de 13 números reales distintos, demuestra que siempre podemos encontrar dos números $ x $ y $ y $ tales que $0 < \frac{x-y}{1+xy} \leq 2-\sqrt{3}$.

Question

Para cualquier conjunto dado de 13 números reales distintos, demostrar que siempre podemos encontrar dos números x e y que $0<\dfrac{x-y}{1+xy}\leq 2-\sqrt{3}$.

Sabía que siempre podemos hacer que $0<\dfrac{x-y}{1+xy}$ ocurra. Dado que x e y son distintos, simplemente podemos intercambiar el orden de x e y para cambiar el signo de $\dfrac{x-y}{1+xy}$, pero ¿qué debo hacer para el lado derecho?

Answer 1

Pongamos $x = \tan(u)$ e $y = \tan(v)$ para algunos $u, v$ considerados módulo $\pi$ (ya que $\tan$ tiene periodo $\pi$). Entonces $\frac{x-y}{1+xy}$ es $\tan(u-v).

Entonces, la clave es reconocer que dos de los ángulos deben estar dentro de $\pi/12$ uno del otro. Esto se debe a un principio de palomas donde estamos tratando de colocar 13 números en 12 sectores dados por $[0, \pi/12]$, $[\pi/12, 2\pi/12]$, etc.

Answer 2

Sugerencias: $\tan(\alpha-\beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}$ y $\tan\dfrac{\pi}{12} = 2-\sqrt{3}$.