Resolviendo la Integral Indefinida $\int{\frac{x^2}{\sqrt{1-x}}}dx$

Question

Estoy atascado con esta integral indefinida;

$\int{\frac{x^2}{\sqrt{1-x}}}dx$

He intentado y fallado en resolver esto por partes;

$\int{u\space dv} = uv- \int{v\space du}$

$u = (1 - x)^{-\frac{1}{2}}$

$du = \frac{1}{2}(1 - x)^{-\frac{3}{2}}dx$

$v = \frac{1}{3}x^3$

$dv = x^2dx$

Pero vuelvo a atascarme después de escribir la integral final; $\int{v\space du}$.

¿Estoy abordando este problema de la manera correcta, y si es así, qué debo hacer desde aquí?

Answer 1

Pista:

Establezca $\sqrt{1-x}=u\implies x=1-u^2\implies dx=-2u\ du$

Answer 2

Pista:

Descomponer $$\frac{x^2}{\sqrt{1-x}}=\frac{(1-(1-x))^2}{\sqrt{1-x}}=\frac1{\sqrt{1-x}}-2\frac{1-x}{\sqrt{1-x}}+\frac{(1-x)^2}{\sqrt{1-x}}.$$

El resto es fácil.

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Alternativamente, al definir $u=1-x$, obtendrás un factor $u^{-1/2}$, mientras que el resto será un polinomio en $u$. Después de la distribución, obtendrás una combinación lineal de potencias de medio entero de $u$, lo cual es sencillo.

$$-\int\frac{(1-u)^2}{\sqrt u}du=\cdots$$

Answer 3

$$\frac{x^2}{\sqrt{1-x}}=\frac{x^2-2x+1+2x-2+1}{\sqrt{1-x}}=(1-x)^{\frac{3}{2}}-2(1-x)^{\frac{1}{2}}+(1-x)^{-\frac{1}{2}}$$